Сопротивление материалов. Першина С.В. - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Предположим, что известны моменты инерции J
y
, J
x
и J
yx
сечения относительно осей у и x старой
системы координат с началом в точке 0 (рис. 5.5).
Возьмем новую систему координат у
1
x
1
, с началом в той же точке 0, но повернутую на некоторый
угол α относительно старой. Будем считать угол α положительным, если старую систему координат
для перехода, к новой надо повернуть на этот угол против часовой стрелки.
Рассмотрим элементарную площадку dF с координатами у и x в старой системе координат Опреде-
лим координаты y
1
и x
1
этой площадки в новой системе координат.
Из рис. 5.5 следует:
y
1
= BE = CE – C B = CE – DA = y cosα – x sinα;
x
1
= OA+ AB = OA + DC = y sinα + x cosα.
Подставим эти, значения координат в выражение осевого момента инерции относительно оси x
1
:
Рис. 5.5
(
)
∫∫∫
∫∫
αα−α+α=
=α−α==
FFF
FF
x
dFxydFxdFy
dFxydFyJ
cossin2sincos
sincos
2222
2
2
1
1
или
α−α+α= 2sinsincos
22
1
yxyxx
JJJJ , (5.18)
так как
x
F
JdFy =
∫
2
;
y
F
JdFx =
∫
2
;
yx
F
JdFxy =
∫
.
Аналогично,
(
)
∫∫∫
∫∫
αα+α+α=
=α+α==
FFF
FF
y
dFxydFydFx
dFxydFxJ
cossin2sincos
cossin
2222
2
2
1
1
или
α+α+α= 2sinsincos
22
1
yxxyy
JJJJ . (5.19)
Если сложить величины моментов инерции относительно осей y
1
и x
1
, то
xyxy
JJJJ +
=
+
11
. (5.20)
Следовательно, сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных
осей сохраняет постоянную величину при повороте осей на любой угол. Этот результат объясняется
также тем, что сумма моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей равна по-
лярному моменту инерции относительно начала координат [см. формулу (5.10)]; величина же полярного
y
x
x
0
y
1
y
1
x
1
y
x
1
A
B
C
D
E
F
α
α

Страницы