Сопротивление материалов. Першина С.В. - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

∑
∫
=σ=
F
y
dFxM 0
. (7.13)
Здесь σdFx представляет собой момент элементарной внутренней силы σdF относительно оси у (см.
рис. 7.8).
Подставим в выражение (7.13) значение σ по формуле (7.8):
∫∫
∑
=ρ=ρ=
FF
y
yxdFEyxdFEM 0)/()/(
.
Здесь интеграл yxdF представляет собой центробежный момент инерции J
yx
поперечного сечения бруса
относительно осей у и x. Следовательно,
0)/( =ρ=
∑
yxy
JEM ; (7.14)
но так как
E/ρ ≠ 0,
то
J
yx
= 0.
Как известно, центробежный момент инерции сечения равен нулю относительно главных осей
инерции.
В рассматриваемом случае ось у является осью симметрии поперечного сечения бруса и, следова-
тельно, оси у и x являются главными центральными осями инерции этого сечения. Поэтому условие
(7.14) здесь удовлетворяется.
В случае, когда поперечное сечение изгибаемого бруса не имеет ни одной оси симметрии, условие
(7.14) удовлетворяется, если плоскость действия изгибающего момента проходит через одну из главных
центральных осей инерции сечения или параллельна этой оси.
Если плоскость действия изгибающего момента не проходит ни через одну из главных центральных
осей инерции поперечного сечения бруса и не параллельна ей, то условие (7.14) не удовлетворяется и,
следовательно, нет прямого изгиба – брус испытывает косой изгиб.
Формула (7.12), определяющая нормальное напряжение в произвольной точке рассматриваемого
сечения бруса, применима при условии, что плоскость действия изгибающего момента проходит через
одну из главных осей инерции этого сечения или ей параллельна. При этом нейтральная ось поперечного
сечения является его главной центральной осью инерции, перпендикулярной к плоскости действия изги-
бающего момента.
Формула (7.11) показывает, что при прямом чистом изгибе кривизна изогнутой оси бруса прямо
пропорциональна произведению модуля упругости Е на момент инерции J
x
. Произведение EJ
x
будем
называть жесткостью сечения при изгибе; она выражается в кгс⋅мм
2
, кгс⋅см
2
, тс⋅м
2
и т.д.
При чистом изгибе балки постоянного сечения изгибающие моменты М
x
и жесткости сечений EJ
x
постоянны по ее длине. В этом случае радиус ρ кривизны изогнутой оси балки имеет постоянное значе-
ние [см. выражение (7.11)], т.е. балка изгибается по дуге окружности.
Из формулы (7.12) следует, что наибольшие (положительные – растягивающие) и наименьшие (от-
рицательные – сжимающие) нормальные напряжения в поперечном сечении бруса возникают в точках,
наиболее удаленных от нейтральной оси, расположенных по обе стороны от нее. При поперечном сече-
нии, симметричном относительно нейтральной оси, абсолютные величины наибольших растягивающих
и сжимающих напряжений одинаковы и их можно определить по формуле
maxmax
)/( yJM
xx
=
σ
,
где y
max
– расстояние от нейтральной оси до наиболее удаленной точки сечения.
Величина J
x
/y
max
, зависящая только от размеров и формы поперечного сечения, называется осевым
моментом сопротивления сечения и обозначается W
x
:
W
x
= J
x
/y
max
. (7.15)
Следовательно,
xx
WM /
max
=
σ
. (7.16)
Определим осевые моменты сопротивления для прямоугольного и круглого сечений.
Для прямоугольного сечений шириной b и высотой h

Страницы