Использование сеточных методов для решения задач механики сплошной среды. Петрусев А.С. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

∂ρε
∂t
+(∇v)ρε+pdivv=div(λ∇)T-div
Σ
i
(
k
T
i
p
ρc
i
+h
i
)J
i
+q
стор
(11.5)
∂ρ
i
∂t
+(∇v)ρ
i
=Ω
i
-divJ
i
(11.6)
Уравнение для энергии (11.5) не полностью дивергентно из-за
члена, учитывающего сжимаемость. В случае течений с малыми
и умеренными скоростями изменение давления мало и
недивергентность этого члена сказывается слабо, поскольку
pdivv=div(pv)+O(M
3
)≈div(pv).
Для замыкания систем (11.1)-(11.3) или (11.4)-(11.6)
они должны быть дополнены уравнением состояния газа,
выражениями для диффузионных потоков J
i
, химических
источников Ω
i
, а также калорическими свойствами компонентов
h
i
=h
i
(p,T). Если давления в системе не слишком высоки, то
можно ограничиться случаем уравнения идеального газа p=
ρRT
μ
,
где
1
μ
=
Σ
i
c
i
μ
i
- средний молекулярный вес смеси.
Для вычисления калорических свойств компонентов удобно
использовать стандартные термодинамические полиномы,
затабулированные в [27]. Эти таблицы представляют собой
набор коэффициентов A
1
…A
7
для вычисления приведённого
термодинамического потенциала по формуле:
Φ = A
1
+ A
2
lnx + A
3
x
-2
+ A
4
x
-1
+ A
5
x + A
6
x
2
+ A
7
x
3
(11.7)
где x=T*10
-4
. Дифференцированием (11.7) получаем
S = A
1
+ A
2
(1+lnx) - A
3
x
-2
+ 4A
7
x
3
+ 3A
6
x
2
+ 2A
5
x (11.8)
H = 10
4
(A
2
x - 2A
3
x
-1
- A
4
+ A
5
x
2
+ 2A
6
x
3
+ 3A
7
x
4
) (11.9)
C
p
= A
2
+ 2A
3
x
-2
+ 2A
5
x + 6A
6
x
2
+ 12A
7
x
3
(11.10)
Формулы (11.7)-(11.10) дают относительные значения
термодинамических функций в [Дж/Моль] и [Дж/(Моль*К)]
соответственно. Для получения полной массовой плотности
энергии (энтальпии, энергии Гиббса) к ним следует добавить
энтальпию образования вещества и разделить результат на
молярный вес компонента [кг/Моль]. Добавление энтальпии
образования будет производиться автоматически, если
изменить значение коэффициента A
4
: A
4
*
=A
4
-H
0
*10
-4
.
Выражение для скоростей химических источников, даваемое
химической кинетикой, имеет вид:
Ω
i
=
μ
i
N
a
⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞
Σ
l
ν
li
K
+
l
(T)
Π
s
n
ν
ls
s
-
Σ
l
ν
li
K
-
l
(T)
Π
s
n
ν
ls
s
, (11.11)
где K(T) - константа скорости реакции. Её температурная
зависимость обычно следует закону Аррениуса K=K
0
T
n
exp(-
E
a
T
) и
является весьма резкой.
Остановимся подробнее на выражения для диффузионных
потоков, даваемые теорией многокомпонентного переноса.
Данные выражения получены в [28] на основе решения
уравнения Больцмана. Вводя вектор d
i
, характеризующий
термодинамические силы для i-того компонента смеси 
                                           T
∂ρε                                      kip
∂t
    +(∇v)ρε+pdivv=div(λ∇)T-div (  Σ i
                                            +h )J +q
                                         ρci i i стор
                                                              (11.5)

∂ρi
   +(∇v)ρi=Ωi-divJi                                           (11.6)
∂t
Уравнение для энергии (11.5) не полностью дивергентно из-за
члена, учитывающего сжимаемость. В случае течений с малыми
и    умеренными      скоростями      изменение       давления   мало    и
недивергентность этого члена сказывается слабо, поскольку
pdivv=div(pv)+O(M3)≈div(pv).
       Для замыкания систем (11.1)-(11.3) или (11.4)-(11.6)
они должны быть дополнены уравнением состояния газа,
выражениями      для    диффузионных         потоков    Ji,   химических
источников Ωi, а также калорическими свойствами компонентов
hi=hi(p,T). Если давления в системе не слишком высоки, то
                                                                     ρRT
можно ограничиться случаем уравнения идеального газа p=                 ,
                                                                      μ
      1   ci
где =  Σ
      μ i μi
             - средний молекулярный вес смеси.
       Для вычисления калорических свойств компонентов удобно
использовать        стандартные         термодинамические      полиномы,
затабулированные в [27]. Эти таблицы представляют собой
набор коэффициентов A1…A7 для вычисления приведённого
термодинамического потенциала по формуле:
Φ = A1 + A2lnx + A3x-2 + A4x-1 + A5x + A6x2 + A7x3            (11.7)
             -4
где x=T*10 . Дифференцированием (11.7) получаем
S = A1 + A2(1+lnx) - A3x-2 + 4A7x3 + 3A6x2 + 2A5x             (11.8)
        4            -1               2         3       4
H = 10 (A2x - 2A3x        - A4 + A5x + 2A6x + 3A7x )          (11.9)
Cp = A2 + 2A3x-2 + 2A5x + 6A6x2 + 12A7x3                      (11.10)
Формулы       (11.7)-(11.10)      дают        относительные     значения
термодинамических функций в [Дж/Моль] и [Дж/(Моль*К)]
соответственно. Для получения полной массовой плотности
энергии (энтальпии, энергии Гиббса) к ним следует добавить
энтальпию образования вещества и разделить результат на
молярный вес компонента [кг/Моль]. Добавление энтальпии
образования       будет     производиться         автоматически,    если
изменить значение коэффициента A4: A4*=A4-H0*10-4.
       Выражение для скоростей химических источников, даваемое
химической кинетикой, имеет вид:
    μi
     aΣ⎝l
                Π s
                     ls


                        l
                          Σ      Π
Ωi=N ⎛⎜ νliKl(T) nνs - νliKl(T) nνs ⎞⎟,
             +                -

                                   s
                                      ls


                                          ⎠
                                                              (11.11)
где K(T) - константа скорости реакции. Её температурная
                                                                   Ea
зависимость обычно следует закону Аррениуса K=K0Tnexp(- T ) и
является весьма резкой.
       Остановимся подробнее на выражения для диффузионных
потоков, даваемые теорией многокомпонентного переноса.
Данные выражения получены в [28] на основе решения
уравнения Больцмана. Вводя вектор di, характеризующий
термодинамические силы для i-того компонента смеси

Страницы