Использование сеточных методов для решения задач механики сплошной среды. Петрусев А.С. - 28 стр.

    ρ                        μcj
Ji=-B ∇ci+δJi, где Bi=
     i                  Σμ D
                         j   j ij
                                   ,
                                                               (11.20)
    μci ⎛ 1           1 ⎞    ρci⎡ T            ⎛ μi⎞      ⎤
δJi= B
      i  Σ  ⎜      -      J+
              μ D μiDii⎟⎠ j Bi ⎣
          j ⎝ j ij
                                ⎢ki∇lnT-∇lnμ-⎜1- ⎟∇lnp⎥
                                               ⎝   μ⎠     ⎦
Подстановка (11.20) в (11.3) с учётом того, что член δJi мал
по сравнению с Ji, и его можно взять с нижнего слоя
(учитывать явно) приводит к независимым друг от друга
уравнениям (11.3), которые могут быть решены скалярными
прогонками,           причём      алгоритм       сохраняет    безусловную
устойчивость. Такая реализация алгоритма соответствует
одной итерации по Зейделю на каждом временном шаге решения
(11.1)-(11.3) и по трудоёмкости почти не превосходит
алгоритма с использованием приближения Уилки.
      Другим фактором, усложняющим решение (11.3) является
структура члена химических скоростей Ωi. Как известно,
уравнения химической кинетики обладают большой жёсткостью,
и явный учёт члена Ωi приводит к недопустимым ограничениям
на временной шаг. С другой стороны, полностью неявный учёт
данного          члена     приводит      к    «зацеплению»      уравнений
неразрывности компонентов друг за друга, что требует
применения векторной (или матричной) прогонки для решения
(11.3).          Получить      экономичный       алгоритм,    реализуемый
скалярными прогонками, позволяет полуявный учёт члена Ωi,
предложенный           Ф.Блоттнером        [29]      (называемый    также
асимптотическим). По этому подходу неявно учитывается
только концентрация «диагонального» компонента ci, все
остальные концентрации, входящие в (11.11) берутся с
нижнего слоя:
        1
Ωi=ρ(βi+γici).                                                 (11.21)
причём, как видно из (11.11) βi>0, γi<0. Как сообщается в
ряде работ (см. например [26]), данный метод сохраняет
высокоустойчивость алгоритма при расчёте быстропротекающих
химических процессов. При расчёте процессов с интенсивным
тепловыделением           необходим     неявный      учёт   температурной
зависимости химического источникового члена. Линеаризуя
(11.11), получим:
Ωi=ρ(βi+γici+θiT).                                             (11.22)
      Подстановка (11.20) и (11.22) в (11.3) приводит к
уравнению:
∂ci             1    ⎛ρ    ⎞           1 1
   +(v∇)ci- div⎜B ∇ci⎟-γici-θiT=βi- divδJi,                    (11.23)
∂t              ρ    ⎝ i   ⎠             ρ
пригодному для численной реализации скалярными прогонками.
Везде в дальнейшем будем обозначать
    1 1
βi=βi- divδJi.
       ρ