Использование сеточных методов для решения задач механики сплошной среды. Петрусев А.С. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

п.3.Реализация численного решения системы уравнений
реагирующего газа (недивергентная форма уравнений).
Для простоты, рассмотрим решение системы уравнений в
недивергентной форме (11.1)-(11.3). Используя в качестве
основных переменных U=(ρ,v,T,c)=(ρ,v
x
,v
y
,T,c
1,
…
,
c
M
),
необходимо записать уравнение (11.2) относительно
температуры. Для этого заметим, что
dε=d
Σ
i
ε
i
c
i
=
Σ
i
C
vi
c
i
dT+
Σ
i
ε
i
dc
i
и (11.2) можно переписать в виде:
ρC
v
∂T
∂t
+ρC
v
(v∇)T+ρ
Σ
i
ε
i
⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
∂c
i
∂t
+(v∇)c
i
+pdivv=
=div(λ∇)T-div
Σ
i
J
i
⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞
pk
T
i
ρc
i
+h
i
+q
стор
(11.24)
Подставляя выражение в квадратных скобках из (11.3) получим
ρC
v
∂T
∂t
+ρC
v
(v∇)T+
Σ
i
ε
i
(Ω
i
-divJ
i
)+pdivv=
=div(λ∇)T-div
Σ
i
J
i
⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞
pk
T
i
ρc
i
+h
i
+q
стор
. (11.25)
Наконец, используя (11.20) и (11.22), приходим к
∂T
∂t
+(v+
Σ
i
C
pi
J
i
ρC
v
,∇)T-div(λ∇)T+
+
1
C
v
Σ
i
⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
RT
μ
i
⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞
k
T
i
x
i
+1 divJ
i
+ε
i
Ω
i
ρ
+
pdivv
ρC
v
=
q
стор
ρC
v
(11.26)
Рассмотрим вначале случай со слабым тепловыделением, когда
можно использовать выражение (11.21), т.е. положить θ
i
=0.
Для системы уравнений (11.1),(11.23) и (11.26) запишем
конечно-разностную схему с весами:
u
^
-u
τ
+α(A
x
+A
y
)u
^
+(1-α)(A
x
+A
y
)u=f. (11.27)
Применяя метод расщепления по направлениям со
стабилизирующими операторами, на основе (11.27) составляем
схему расщепления:
(1+ατA
x
)(1+ατA
y
)
u
^
-u
τ
+(A
x
+A
y
)u=f, (11.28)
где (в краткой записи)
f=
⎝
⎜
⎜
⎛
⎠
⎟
⎟
⎞
(Λρv)
F
x
F
y
Σ
i
ε
i
β
i
/(ρC
v
)
β
i
п.3.Реализация   численного   решения    системы   уравнений
реагирующего газа (недивергентная форма уравнений).

     Для простоты, рассмотрим решение системы уравнений в
недивергентной форме (11.1)-(11.3). Используя в качестве
основных      переменных      U=(ρ,v,T,c)=(ρ,vx,vy,T,c1,…,cM),
необходимо    записать   уравнение     (11.2)    относительно
температуры. Для этого заметим, что
   Σ             Σ            Σ
dε=d εici= CvicidT+ εidci и (11.2) можно переписать в виде:
    i            i                i
   ∂T                         ⎡∂ci           ⎤
ρCv +ρCv(v∇)T+ρ
   ∂t                    Σε ⎢⎣ ∂t +(v∇)c ⎥⎦+pdivv=
                          i
                              i          i

                                  T                  (11.24)
                           ⎛pki    ⎞
=div(λ∇)T-div        Σ
                     i
                         Ji⎜
                           ⎝ρci
                                +hi⎟+qстор
                                   ⎠
Подставляя выражение в квадратных скобках из (11.3) получим
   ∂T
   ∂t           i
                     Σ
ρCv +ρCv(v∇)T+ εi(Ωi-divJi)+pdivv=
                     T            .               (11.25)
                  ⎛pki    ⎞
=div(λ∇)T-div Ji⎜
              i
                     Σ
                  ⎝ρci
                       +hi⎟+qстор
                          ⎠
Наконец, используя (11.20) и (11.22), приходим к

∂T
        Σ  i
             CpiJi
   +(v+           ,∇)T-div(λ∇)T+
∂t           ρCv                                      (11.26)
              T
  1 ⎡RT⎛ki ⎞               Ωi⎤ pdivv qстор
  Σ
+C ⎢ ⎜x +1⎟divJi+εi ⎥+
    v    μ ⎝ i ⎠
      i ⎣ i
                           ρ ⎦ ρCv
                                    =
                                      ρCv
Рассмотрим вначале случай со слабым тепловыделением, когда
можно использовать выражение (11.21), т.е. положить θi=0.
Для системы уравнений (11.1),(11.23) и (11.26) запишем
конечно-разностную схему с весами:
^
u-u
      +α(Ax+Ay)u  ^+(1-α)(A +A )u=f.                  (11.27)
  τ                          x  y

Применяя           метод      расщепления  по направлениям    со
стабилизирующими операторами, на основе (11.27) составляем
схему расщепления:
                      ^
                      u-u
(1+ατAx)(1+ατAy)          +(Ax+Ay)u=f,                (11.28)
                        τ
где (в краткой записи)

  ⎛       (Λρv)
             Fx      ⎞
f=
  ⎜          Fy      ⎟
  ⎜Σ     εiβi/(ρCv)  ⎟
  ⎝                  ⎠
   i
            βi

Страницы