Использование сеточных методов для решения задач механики сплошной среды. Петрусев А.С. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

итерационную схему. Линеаризация уравнений на верхнем слое
даёт
δT
i
τ
=Λ
_
λΛT
^
i
+2σ
i
EδE+E
2
σ
i
IδT
i
T
2
i
(11.34.1)
∂Φ
∂E
δE+I
Σ
i
∂Φ
∂σ
i
σ
i
T
2
i
δT
i
+Φ(E,σ)=0 (11.34.2)
где δE=E
^
-E, δT
i
=T
^
i
-T
i
. Конечно-разностное выражение для
Φ(E,σ) может быть получено из (11.32) с вычислением
интеграла по какой-либо квадратурной формуле. Например,
используя формулу трапеций
⌡
⌠
0
R
σ(r)dr
≈
h
2
(σ
0
0+σ
R
R)+
h
2
Σ
N
i=1
(σ
i
r
i
+σ
i-1
r
i-1
)=h
Σ
N-1
i=1
σ
i
r
i
(11.35)
В (11.35) учтено, что σ
R
близко к нулю. Тогда функционал
можно записать, например, в виде
Φ=E-
J
2πh
Σ
N-1
i=1
σ
i
r
i
(11.36)
Решение (11.34) «в лоб» путём выражения δE из (11.34.2) и
подстановки в (11.34.1) ведёт к нарушению трёхдиагональной
структуры уравнения (11.34.1), так, что для его решения
придётся использовать трудоёмкий метод Гаусса. Однако можно
построить экономичный алгоритм решения (11.34). Для этого
воспользуемся линейностью (11.34.1) по δE и представим его в
виде:
a
i
δT
i-1
+b
i
δT
i
+c
i
δT
i+1
=A
i
+B
i
δE (11.37)
Тогда решение (11.37) будет иметь вид δT
i
=α
i
+β
i
δE, где α
i
и β
i
- решения уравнений a
i
α
i-1
+b
i
α
i
+c
i
α
i+1
=A
i
и a
i
β
i-1
+b
i
β
i
+c
i
β
i+1
=B
i
соответственно, которые можно получить двумя скалярными
прогонками. Подставив полученное соотношение в (11.34.2)
найдём δE:
δE=-
I
Σ
i
∂Φ
∂σ
i
σ
i
α
i
T
2
i
+Φ
∂Φ
∂E
+I
Σ
i
∂Φ
∂σ
i
σ
i
β
i
T
2
i
, (11.38)
а по нему и T
^
i
=T
i
+α
i
+β
i
δE. Таким образом, мы получили
экономный итерационный алгоритм решения (11.34). И по своей
форме, и по существу он аналогичен методу Ньютона-
Канторовича для нелинейной краевой задачи (решение
уравнения в вариациях) и обеспечивает быструю
(квадратичную) сходимость к стационару.
Перейдём теперь к более строгой модели. Прежде всего,
следует определить проводимость многокомпонентного газа.
Для
её вычисления, используем (11.12)-(11.14), полагая d
i
=
c
i
p
итерационную схему. Линеаризация уравнений на верхнем слое
даёт
δTi _ ^                IδTi
   =ΛλΛTi+2σiEδE+E2σi 2                             (11.34.1)
 τ                       Ti
∂Φ        ∂Φ σi
∂E    Σ
   δE+I
        i
              2δT +Φ(E,σ)=0
          ∂σiTi i
                                                    (11.34.2)

где δE=E   ^-E, δT =T ^ -T . Конечно-разностное выражение для
                    i  i   i
Φ(E,σ) может быть получено из (11.32) с вычислением
интеграла по какой-либо квадратурной формуле. Например,
используя формулу трапеций
R                       N                   N-1
          h         h
⌠σ(r)dr≈ (σ00+σRR)+
⌡
0
        2          2
                     i=1
                        Σ   (σiri+σi-1ri-1)=h
                                            i=1
                                                Σσ r
                                                  i i   (11.35)

В (11.35) учтено, что σR близко к нулю. Тогда функционал
можно записать, например, в виде
        J
Φ=E-   N-1                                    (11.36)
         Σ
    2πh σiri
         i=1

Решение (11.34) «в лоб» путём выражения δE из (11.34.2) и
подстановки в (11.34.1) ведёт к нарушению трёхдиагональной
структуры уравнения (11.34.1), так, что для его решения
придётся использовать трудоёмкий метод Гаусса. Однако можно
построить экономичный алгоритм решения (11.34). Для этого
воспользуемся линейностью (11.34.1) по δE и представим его в
виде:
aiδTi-1+biδTi+ciδTi+1=Ai+BiδE                           (11.37)
Тогда решение (11.37) будет иметь вид δTi=αi+βiδE, где αi и βi
- решения уравнений aiαi-1+biαi+ciαi+1=Ai и aiβi-1+biβi+ciβi+1=Bi
соответственно, которые можно получить двумя скалярными
прогонками. Подставив полученное соотношение в (11.34.2)
найдём δE:
         ∂Φ αi
     Σ
     I
       i
             σ 2+Φ
         ∂σi iTi
δE=-                 ,                                  (11.38)
     ∂Φ      ∂Φ βi
     ∂E
        +IΣi
                σ 2
             ∂σi iTi
а по нему и T         ^ =T +α +β δE. Таким образом, мы получили
                       i   i  i i
экономный итерационный алгоритм решения (11.34). И по своей
форме, и по существу он аналогичен методу Ньютона-
Канторовича       для      нелинейной  краевой   задачи   (решение
уравнения        в       вариациях)   и    обеспечивает    быструю
(квадратичную) сходимость к стационару.
      Перейдём теперь к более строгой модели. Прежде всего,
следует определить проводимость многокомпонентного газа.
                                                                ci
Для её вычисления, используем (11.12)-(11.14), полагая di= p

Страницы