Использование сеточных методов для решения задач механики сплошной среды. Петрусев А.С. - 45 стр.

6.Неустойчивости, вызываемые сингулярностью уравнений.
     Неустойчивости такого типа возникают при наличии
различных особенностей в коэффициентах уравнений или нулей
коэффициента при старшей производной в пределах расчётной
области. Эти неустойчивости связаны со свойствами исходной
дифференциальной задачи и не всегда могут быть преодолены
вычислительными приёмами. Во всяком случае, для этого
необходимо, чтобы решение дифференциального уравнения было
гладким.
     Отдельным случаем неустойчивостей данного типа являются
неустойчивости,     вызываемые    разрывами   первого   рода   в
коэффициентах уравнений. Такие разрывы могут возникать при
моделировании ударных волн и здесь не обсуждаются.
     Типичным примером неустойчивостей 6-го типа, часто
встречающимся     на    практике,    является    особенность   в
коэффициентах Ламе при записи уравнений в криволинейных
системах координат. Так, при использовании цилиндрической
или сферической систем координат возникает особенность при
r=0, могущая вызвать такую неустойчивость. Её наличие
обычно    удаётся     установить    аналитически    из   анализа
линеаризованного     уравнения,    однако   метод   замороженных
коэффициентов срабатывает не всегда, могут потребоваться
более      тонкие      приёмы.      Непосредственные     причины
неустойчивости обычно кроются в неаккуратной аппроксимации
дифференциального       уравнения      конечными     разностями,
неприменимого      вблизи    особенности.     Для    составления
правильной конечно-разностной аппроксимации может оказаться
полезным интегро-интерполяционный метод.

Неустойчивости, связанные с краевыми условиями.
     Данная группа неустойчивостей по своей математической
природе относится к типам, перечисленным выше, с той лишь
разницей, что ошибки, её вызывающие, находятся в конечно-
разностной аппроксимации краевых условий, а не самих
уравнений. Грамотная запись краевых условий (прежде всего
для уравнений неразрывности и движения) является весьма
сложным местом при написании алгоритмов на основе схем
расщепления по направлениям. Как отмечалось в §9-10,
сложность    вызвана   наложением   по   меньшей   мере   трёх
требований:
-Постановка краевых условий для дифференциальных уравнений
 гидродинамики требует определённости инвариантов Римана для
 характеристик, входящих в расчётную область.
-К краевым условиям, присутствующим в физической постановке
 задачи,    часто    приходится   добавлять    дополнительные,
 требуемые для формальной определённости прогонок и обычно
 получаемые нестандартной аппроксимацией дифференциальных
 уравнений в граничных узлах (подобно тому, как это
 проделано в конце п.3 §9).
-Правильное расщепление краевых условий 2-го или 3-го рода
 требует согласования правила «против потока» с ориентацией
 границы расчётной области.