Разностные схемы и их анализ. Петрусев А.С. - 76 стр.

1.Большой временной шаг. Если решается стационарная задача
методом установления, то ограничения вида (8.9) снимаются
при достаточно большом шаге по времени, что допустимо при
использовании высокоустойчивых неявных аппроксимаций всех
уравнений решаемой задачи.
2.Применение       консервативных        схем.     Иногда    возможно
применение безусловно устойчивых схем типа (3.16), с первым
порядком     точности.      Это      допустимо     при    обеспечении
консервативности схемы, что ограничивает рост глобальной
погрешности.
3.Использование сеток с удвоением шага. По этому методу
неоднородная сетка строится следующим образом:
а)При изменении шага сетки он либо уменьшается вдвое либо
вдвое увеличивается.
б)Вблизи каждого узла имеется не менее двух смежных ячеек
сетки с одинаковым шагом.
При аппроксимации на сетке такого вида становится возможным
пользоваться       разностными       схемами,      применяемыми    на
однородных сетках. Например, пусть hi-2=hi-1=2hi=2hi+1. Тогда
применение схем (2.11)-(2.14) в узлах с номерами i-1 и i+1
не встречает затруднений. Трёхточечная схема с центром в i-
том узле составляется для узлов i-1, i, i+2, поскольку xi-xi-
1=xi+2-xi.  В обратном случае, когда 2hi-2=2hi-1=hi=hi+1, для
триады берутся узлы i-2, i, i+1. При этом удаётся сочетать
преимущества неоднородной сетки с простотой аппроксимации
на     однородной     сетке.     Вопреки      предсказаниям    метода
«замороженных коэффициентов» алгоритм остаётся подверженным
неустойчивостям      типа    (8.9),      однако    знак   неравенства
меняется на противоположный: схема устойчива при vi(hi-hi-
1)≤0. Основным неудобством данного метода является то, что
матрица получаемой системы конечно-разностных уравнений
оказывается     четырёх-      или     пятидиагональной.     Несколько
усложняется также алгоритм построения сетки. В целом,
данный метод весьма удобен и часто применяется на практике.
4.Замена переменных. Гладким преобразованием неоднородная
сетка может быть переведена в однородную. Рассмотрим
преобразование z=z(x), при котором z(xi)-z(xi-1)=const для
любого i. Например, можно положить z(xi)=i. Тогда, делая в
уравнениях     замену    независимой        переменной   по   обычным
                 ’               ’’ ’   ’ ’’
                u
             ∂u z               u  x  -u
                           ∂ u zz z z zz
                            2            x
правилам       =x’     и       = (x’)3 ,        получаем    уравнения
             ∂x z          ∂x2        z
относительно независимой переменной z на однородной сетке.
      Данный приём особенно эффективен, если для построения
сетки xi используется аналитическая зависимость x=x(i).
Однако построить такую зависимость для решения, поведение
которого заранее неизвестно едва ли возможно. Если же сетка
задаётся набором координат её узлов, то возникают трудности
при вычислении производных x’(z) и x”(z). На первый взгляд,
для их вычисления можно пользоваться обычными формулами
численного дифференцирования второго (или выше) порядка
точности. Однако это верно только когда неоднородность