Разностные схемы и их анализ. Петрусев А.С. - 75 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

что схема второго порядка точности теряет безусловную
устойчивость.
Пример 3.
Схема (8.4).
Схему можно представить в виде:
u
^
i
-u
i
+τa(u
^
i+1
-u
^
i
)+τb(u
^
i
-u
^
i-1
)=0, где
a=-
2D
h
i
(h
i
+h
i-1
)
+
v
3
(
1
h
i
+
1
h
i
+h
i-1
),b=
2D
h
i-1
(h
i
+h
i-1
)
+
v
3
(
1
h
i-1
+
1
h
i
+h
i-1
).
Подставляя в (8.4) Фурье-компоненты λ
n
e
im
ϕ
, приходим к
условию устойчивости τ≥(a-b)/(⎜a⎜-⎜b⎜)
2
Видно, что
наличие вязкости улучшает устойчивость схемы, однако
качественно данное условие аналогично (8.9). Схема
(8.4) может быть безусловно устойчивой при b-a≥0, или
6D+v(h
i
-h
i-1
)≥0.
Выражение для множителя перехода схемы (8.5)
громоздко и здесь не приводится. Отметим лишь, что оно
приводит к условию устойчивости аналогичному (8.4).
В §2 отмечалось, что к анализу схем на неоднородных
сетках применим метод энергетических неравенств. Как и в
случае однородных сеток его удобнее использовать для
доказательства безусловной устойчивости. В качестве
примера
, рассмотрим схему (8.4).
Пример 4.
Как и ранее (пример 3), представим схему в виде u
^
i
-u
i
+τa
i
(u
^
i+1
-u
^
i
)+τb
i
(u
^
i
-u
^
i-1
)=0, не требуя постоянства a
i
и
b
i
. Тогда A
i
u
i
=a
i
(u
i+1
-u
i
)+b
i
(u
i
-u
i-1
). 2(u,Au)=
=
Σ
i
g
i
{a
i
[u
2
i+1
-u
2
i
-(u
i+1
-u
i
)
2
]+b
i
[u
2
i
-u
2
i-1
+(u
i-1
-u
i
)
2
]}=
=
Σ
i
(g
i
b
i
-g
i-1
a
i-1
)(u
i-1
-u
i
)
2
+
Σ
i
(u
2
i
-u
2
i-1
)(g
i
b
i
+g
i-1
a
i-1
)=
=
Σ
i
(g
i
b
i
-g
i-1
a
i-1
)(u
i-1
-u
i
)
2
+
Σ
i
u
2
i
(g
i
b
i
+g
i-1
a
i-1
-g
i+1
b
i+1
-g
i
a
i
)
для неотрицательности данного выражения достаточно
потребовать g
i
b
i
-g
i-1
a
i-1
≥0 и g
i
b
i
+g
i-1
a
i-1
≥g
i+1
b
i+1
+g
i
a
i
.
Складывая почленно неравенства g
i
b
i
≥g
i-1
a
i-1
, g
i+1
b
i+1
≥g
i
a
i
и
g
i
b
i
+g
i-1
a
i-1
≥g
i+1
b
i+1
+g
i
a
i
, получаем 2g
i
b
i
≥2g
i
a
i
или b
i
≥a
i
.
Таким образом, мы снова получили, что при 6D
i
+v
i
(h
i
-h
i-
1
)≥0 схема безуслово устойчива, причём в данном случае
не требовалось постоянства D и v в пределах расчётной
области.
п.4.Приёмы использования неоднородных сеток.
Как видно, применение произвольных неоднородных сеток
приводит к ухудшению устойчивости конечно-разностных схем,
аппроксимирующих уравнения с конвективным членом. Для
преодоления этой трудности используется несколько приёмов. 
     что схема второго порядка точности теряет безусловную
     устойчивость.
Пример 3. Схема (8.4).
     Схему можно представить в виде:
     ^
     ui-ui+τa(u^ -u ^ )+τb(u
                           ^ -u ^ )=0, где
                i+1  i       i    i-1
             2D      v 1       1              2D      v 1        1
     a=-h (h +h )+3(h +h +h ),b=h (h +h )+3(h +h +h ).
          i  i  i-1      i  i    i-1      i-1  i i-1      i-1  i   i-1
     Подставляя в (8.4) Фурье-компоненты λ e , приходим к
                                                      n imϕ

     условию     устойчивости         τ≥(a-b)/(⎜a⎜-⎜b⎜)2    Видно,     что
     наличие вязкости улучшает устойчивость схемы, однако
     качественно данное условие аналогично (8.9). Схема
     (8.4) может быть безусловно устойчивой при b-a≥0, или
     6D+v(hi-hi-1)≥0.
           Выражение для множителя перехода схемы (8.5)
     громоздко и здесь не приводится. Отметим лишь, что оно
     приводит к условию устойчивости аналогичному (8.4).

     В §2 отмечалось, что к анализу схем на неоднородных
сетках применим метод энергетических неравенств. Как и в
случае однородных сеток его удобнее использовать для
доказательства       безусловной     устойчивости.   В   качестве
примера, рассмотрим схему (8.4).
Пример 4.
          Как и ранее (пример 3), представим схему в виде u     ^
              ^    ^       ^ ^
     i-ui+τai(ui+1-ui)+τbi(ui-ui-1)=0, не требуя постоянства ai и
     bi. Тогда Aiui=ai(ui+1-ui)+bi(ui-ui-1). 2(u,Au)=
      Σ         2    2                      2   2
     = gi{ai[ui+1-ui-(ui+1-ui)2]+bi[ui-ui-1+(ui-1-ui)2]}=
       i


      Σi
                                   Σi
                                            2   2
     = (gibi-gi-1ai-1)(ui-1-ui)2+ (ui-ui-1)(gibi+gi-1ai-1)=

      Σ                            Σ    2
     = (gibi-gi-1ai-1)(ui-1-ui)2+ ui(gibi+gi-1ai-1-gi+1bi+1-giai)
       i                            i
     для неотрицательности данного выражения достаточно
     потребовать       gibi-gi-1ai-1≥0 и  gibi+gi-1ai-1≥gi+1bi+1+giai.
     Складывая почленно неравенства gibi≥gi-1ai-1, gi+1bi+1≥giai и
     gibi+gi-1ai-1≥gi+1bi+1+giai, получаем 2gibi≥2giai или bi≥ai.
     Таким образом, мы снова получили, что при 6Di+vi(hi-hi-
     1)≥0 схема безуслово устойчива, причём в данном случае
     не требовалось постоянства D и v в пределах расчётной
     области.

п.4.Приёмы использования неоднородных сеток.

     Как видно, применение произвольных неоднородных сеток
приводит к ухудшению устойчивости конечно-разностных схем,
аппроксимирующих уравнения с конвективным членом. Для
преодоления этой трудности используется несколько приёмов.

Страницы