Разностные схемы и их анализ. Петрусев А.С. - 77 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

сетки слабая, ⎜h
i+1
-h
i
⎜<<h
i
, а в этом случае целесообразность
применения неоднородной сетки оказывается сомнительной,
поскольку экономия в числе узлов мала. Если же ⎜h
i+1
-h
i
⎜/h
i
~1,
то ошибка численного дифференцирования становится большой,
что сводит на нет все преимущества схем второго порядка
точности.
Эффективным может оказаться использование сплайн-
интерполяции достаточной гладкости при построении
отображения x=x(z). Дифференцируя полученный сплайн, можно
с высокой точностью вычислить x’(z) и x”(z). Однако
построение такого сплайна связано с трудностями (в
частности, он склонен к осцилляциям).
Другим способом преодоления указанной трудности
является вариационный метод построения аналитической
зависимости x(z) путём её разложения по некоторым базисным
функциям p
k
(z) 0≤k≤M, производные от которых вычисляются
аналитически: x(z)=a
0
p
0
(z)+a
1
p
1
(z)+…+a
M
p
M
(z).
п.5.Построение неоднородных сеток.
Построение неоднородных сеток основано на принципе,
сформулированном в начале данного параграфа: всякое
«событие» в поведении решения должно быть разрешено не
менее чем 5-6 точками сетки. Строгое количественное условие
оптимальности шагов сетки основано на минимизации выражения
для глобальной погрешности. Впервые данный критерий в
последовательной форме был
предложен в теории
дифференциальных приближений (см. [37]).
Пусть главный член локальной погрешности
пространственной аппроксимации метода имеет вид ε
i
(u,h
i
)=Cu
(p)
i
h
q
i
. Предполагая, что при этом глобальная погрешность
оценивается как |δu|~
Σ
i
|u
(p)
i
|h
q
i
, запишем условие Лагранжа
минимума |δu|=δ(u,h) со связью
Σ
i
h
i
= =L=const:
∂
∂h
s
⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
Σ
i
|u
(p)
i
|h
q
i
-λ
⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞
Σ
i
h
i
-L =0. Откуда находим, что минимум
достигается при
R
i
≡h
i
q-1
|u
(p)
i
|=const. (8.10)
Практически, u
(p)
i
можно найти по формулам численного
дифференцирования. Например, при p=q=2 приходим к условию
типа (8.10): R
i
=|
u
i+1
-u
i
h
i+1
-
u
i
-u
i-1
h
i
|≈const.
Если (8.10) сильно нарушается, то сетка нуждается в
пересчёте. Интерполируя массив F
i
=R
i
/h
i
каким-нибудь
способом, получим функцию F=F(x). Например, можно
использовать простейшую кусочно-линейную интерполяцию. 
сетки слабая, ⎜hi+1-hi⎜<

Страницы