Разностные схемы и их анализ. Петрусев А.С. - 79 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

После построения новой сетки на неё должны быть
пересчитаны поля всех счётных величин. Для пересчёта полей
со старой сетки на новую можно пользоваться, например
сплайн-интерполяцией. Процедура интерполяции вносит
определённые возмущения в поля, связанные как с
ограниченной гладкостью сплайнов, так и с их
немонотонностью (осцилляции). Для уменьшения этих
возмущений пересчёт
сетки рекомендуется выполнять не чаще,
чем один раз на 5-10 глобальных итераций.
п.6.Понятие о сплайн-интерполяции.
Алгоритм, используемый для пересчёта решения со старой
сетки на новую, должен удовлетворять, по крайней мере, двум
требованиям:
-Иметь аппроксимацию не ниже третьего порядка (для
аппроксимации вторых производных с порядком не ниже
первого).
-
Должен иметь слабую склонность к осцилляциям (быть
монотонным).
Данные требования довольно жёстки. Методы типа
интерполяционного многочлена Лагранжа им заведомо не
удовлетворяют. В настоящее время для этих целей успешно
применяется сплайн-интерполяция. Не касаясь подробно всей
теории сплайнов, мы изложим основные вопросы, необходимые
для их использования.
Кубичным сплайном называется кусочно-кубический
полином, коэффициенты которого меняются от узла к узлу, но
так, что полином оказывается непрерывным со своими первыми
и вторыми производными. Пусть при x
i-1
≤x≤x
i
сплайн задаётся
выражением
S
i
(x)=a
i
(x-x
i-1
)
3
+b
i
(x-x
i-1
)
2
+c
i
(x-x
i-1
)+d
i
. (8.17)
Тогда условия гладкости в точке x=x
i
можно записать так:
∂
k
∂x
k
[S
i
(x)-S
i+1
(x)]=0, (8.19)
k=0,1,2. Приравнивая коэффициенты при степенях h
i
в (8.19),
получим:
a
i
h
3
i
+b
i
h
2
i
+c
i
h
i
+d
i
=d
i+1
3a
i
h
2
i
+2b
i
h
i
+c
i
=c
i+1
(8.20)
3a
i
h
i
+b
i
=b
i+1
Поделим первое уравнение на h
i
и возьмём разность при i+1 и
i:
a
i+1
h
2
i+1
-a
i
h
2
i
+b
i+1
h
i+1
-b
i
h
i
+c
i+1
-c
i
=
d
i+2
-d
i+1
h
i+1
-
d
i+1
-d
i
h
i
подставляя разность c
i+1
-c
i
из второго уравнения (8.20)
получим:
a
i+1
h
2
i+1
+2a
i
h
2
i
+b
i+1
h
i+1
+b
i
h
i
=
d
i+2
-d
i+1
h
i+1
-
d
i+1
-d
i
h
i
Наконец, подставляя a
i
и a
i+1
из третьего уравнения, получим: 
     После построения новой сетки на неё должны быть
пересчитаны поля всех счётных величин. Для пересчёта полей
со старой сетки на новую можно пользоваться, например
сплайн-интерполяцией.     Процедура     интерполяции     вносит
определённые    возмущения    в   поля,    связанные    как    с
ограниченной    гладкостью     сплайнов,    так    и    с     их
немонотонностью     (осцилляции).    Для     уменьшения     этих
возмущений пересчёт сетки рекомендуется выполнять не чаще,
чем один раз на 5-10 глобальных итераций.


п.6.Понятие о сплайн-интерполяции.

        Алгоритм, используемый для пересчёта решения со старой
сетки на новую, должен удовлетворять, по крайней мере, двум
требованиям:
-Иметь      аппроксимацию      не    ниже      третьего   порядка   (для
аппроксимации вторых производных с порядком не ниже
первого).
-Должен иметь слабую склонность к осцилляциям (быть
монотонным).
Данные        требования     довольно          жёстки.    Методы    типа
интерполяционного        многочлена      Лагранжа      им  заведомо   не
удовлетворяют. В настоящее время для этих целей успешно
применяется сплайн-интерполяция. Не касаясь подробно всей
теории сплайнов, мы изложим основные вопросы, необходимые
для их использования.
        Кубичным     сплайном       называется        кусочно-кубический
полином, коэффициенты которого меняются от узла к узлу, но
так, что полином оказывается непрерывным со своими первыми
и вторыми производными. Пусть при xi-1≤x≤xi сплайн задаётся
выражением
Si(x)=ai(x-xi-1)3+bi(x-xi-1)2+ci(x-xi-1)+di.                  (8.17)
Тогда условия гладкости в точке x=xi можно записать так:
 ∂k
    [S (x)-Si+1(x)]=0,                                        (8.19)
∂xk i
k=0,1,2. Приравнивая коэффициенты при степенях hi в (8.19),
получим:
    3     2
aihi+bihi+cihi+di=di+1
      2
3aihi+2bihi+ci=ci+1                                           (8.20)
3aihi+bi=bi+1
Поделим первое уравнение на hi и возьмём разность при i+1 и
i:
       2     2                       di+2-di+1 di+1-di
ai+1hi+1-aihi+bi+1hi+1-bihi+ci+1-ci= h         - h
                                         i+1       i
подставляя разность ci+1-ci из второго уравнения (8.20)
получим:
       2       2             di+2-di+1 di+1-di
ai+1hi+1+2aihi+bi+1hi+1+bihi= h       - h
                                 i+1         i
Наконец, подставляя ai и ai+1 из третьего уравнения, получим:

Страницы