Разностные схемы и их анализ. Петрусев А.С. - 80 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

b
i+2
h
i+1
+2(h
i+1
+h
i
)b
i+1
+h
i
b
i
=3
⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
d
i+2
-d
i+1
h
i+1
-
d
i+1
-d
i
h
i
(8.21)
Если учесть, что из условий интерполяции в узлах d
i
=f(x
i
),
то (8.21) представляет собой искомое уравнение на b
i
. Зная
b
i
, легко вычислить a
i
=(b
i+1
-b
i
)/3h
i
, c
i
=(f
i+1
-f
i
)/h
i
-a
i
h
2
i
-b
i
h
i
.
Уравнение (8.21) должно быть дополнено краевыми
условиями на b
0
и b
N
. Условия эти могут быть разными. Если
априори известны значения производных f’(x
0
) и f’(x
N
), то
краевые условия запишутся в виде с
0
=f’(x
0
), c
N
=f’(x
N
). После
очевидных преобразований:
2b
0
+b
1
=
3
h
0⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
f
1
-f
0
h
0
-f’(x
0
)
2b
N
+b
N-1
=
3
h
N-1⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
f’(x
N
)-
f
N
-f
N-1
h
N-1
. (8.22)
Если известны значения вторых производных f”(x
0
) и f”(x
N
),
то краевые условия запишутся в виде
2b
0
=f”(x
0
), 2b
N
=f”(x
N
). (8.23)
Краевые условия (8.22), (8.23) или им подобные носят
название условий нагрузки сплайна. При использовании
сплайнов для интерполяции сеточных функций значения
производных в граничных точках часто неизвестны. При этом
обычно пользуются краевыми условиями вида (8.23), полагая
f”(x
0
)=f”(x
N
)=0. Сплайны, получаемые в этом случае (b
0
=b
N
=0)
называют ненагруженными.
Для решения системы уравнений (8.21) с краевым условием
(8.22) или (8.23) используют монотонную прогонку. Поскольку
2(h
i
+h
i+1
)>h
i
+h
i+1
, то система (8.21) имеет сильное
диагональное преобладание, и прогонка устойчива.
Не останавливаясь на исследовании аппроксимационных
свойств сплайнов, отметим, что для достаточно гладкой
функции f(x) кубичный сплайн приближает её с порядком O(h
4
),
а её первую и вторую производные с порядками O(h
3
) и O(h
2
)
соответственно (см. например [10]).
п.7.Многомерные сплайны.
Понятие сплайна может быть обобщено на многомерный
случай. Многомерные сплайны по своим свойствам подобны
одномерным и используются для интерполяции функций
нескольких переменных. Мы рассмотрим двумерные сплайны, их
обобщение на случай большего числа измерений не встречает
принципиальных затруднений.
Рассмотрим прямоугольник {a≤x≤b, c≤
y≤d}, разбитый
прямоугольной сеткой из (N
x
+1)x(N
y
+1) узлов. Определим
бикубичный сплайн, задаваемый в каждой ячейке 16-ю
коэффициентами a
i,j
k,l
, 0≤k,l≤3, в виде 
                               di+2-di+1 di+1-di⎤
bi+2hi+1+2(hi+1+hi)bi+1+hibi=3⎡⎢        - h     ⎥           (8.21)
                              ⎣ hi+1         i  ⎦
Если учесть, что из условий интерполяции в узлах di=f(xi),
то (8.21) представляет собой искомое уравнение на bi. Зная
                                                              2
bi, легко вычислить ai=(bi+1-bi)/3hi, ci=(fi+1-fi)/hi-aihi-bihi.
     Уравнение    (8.21)      должно     быть     дополнено   краевыми
условиями на b0 и bN. Условия эти могут быть разными. Если
априори известны значения производных f’(x0) и f’(xN), то
краевые условия запишутся в виде с0=f’(x0), cN=f’(xN). После
очевидных преобразований:
        3 f1-f0
2b0+b1=h ⎡⎢ h -f’(x0)⎤⎥
         0⎣     0     ⎦
            3 ⎡     fN-fN-1⎤.                               (8.22)
2bN+bN-1=h ⎢f’(xN)- h       ⎥
            N-1⎣        N-1 ⎦
Если известны значения вторых производных f”(x0) и f”(xN),
то краевые условия запишутся в виде

2b0=f”(x0), 2bN=f”(xN).                                   (8.23)

Краевые условия (8.22), (8.23) или им подобные носят
название    условий     нагрузки   сплайна.    При   использовании
сплайнов    для     интерполяции    сеточных    функций   значения
производных в граничных точках часто неизвестны. При этом
обычно пользуются краевыми условиями вида (8.23), полагая
f”(x0)=f”(xN)=0. Сплайны, получаемые в этом случае (b0=bN=0)
называют ненагруженными.
     Для решения системы уравнений (8.21) с краевым условием
(8.22) или (8.23) используют монотонную прогонку. Поскольку
2(hi+hi+1)>hi+hi+1,    то    система    (8.21)     имеет   сильное
диагональное преобладание, и прогонка устойчива.
     Не останавливаясь на исследовании аппроксимационных
свойств сплайнов, отметим, что для достаточно гладкой
функции f(x) кубичный сплайн приближает её с порядком O(h4),
а её первую и вторую производные с порядками O(h3) и O(h2)
соответственно (см. например [10]).


п.7.Многомерные сплайны.

     Понятие сплайна может быть обобщено на многомерный
случай. Многомерные сплайны по своим свойствам подобны
одномерным   и    используются    для   интерполяции    функций
нескольких переменных. Мы рассмотрим двумерные сплайны, их
обобщение на случай большего числа измерений не встречает
принципиальных затруднений.
     Рассмотрим   прямоугольник    {a≤x≤b,   c≤y≤d},   разбитый
прямоугольной сеткой из (Nx+1)x(Ny+1) узлов. Определим
бикубичный   сплайн,    задаваемый   в   каждой   ячейке   16-ю
                i,j
коэффициентами ak,l, 0≤k,l≤3, в виде

Страницы