Разностные схемы и их анализ. Петрусев А.С. - 81 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

S(x,y)=
Σ
3
k,l=0
a
i,j
k,l
(x-x
i
)
k
(y-y
j
)
l
. (8.24)
Коэффициенты a
i,j
k,l
выбираются так, чтобы
а)S(x
i
,y
j
)=f
ij
, 0≤i≤N
x
, 0≤j≤N
y
.
б)S(x,y) непрерывна вместе со своими первыми и вторыми
производными. Кроме того, непрерывны смешанные производные
S
’’’
xxy
, S
’’’
xyy
, S
’’’’
xxyy
.
Также как и в одномерном случае, для однозначного
определения интерполирующего сплайна помимо значений в
узлах f
ij
необходимо задать краевые условия - «условия
нагрузки». В линейном случае это могут быть условия 2-го
или 3-го рода. Т.к. значения сплайна во всех узлах заданы,
то условия 3-го рода всегда сводятся к условиям 2-го рода.
Наиболее прост случай задания нормальной производной. В
этом случае задача о построении двумерного бикубичного
сплайна
может быть легко сведена к повторным построениям
одномерных кубичных сплайнов. В самом деле, при
фиксированном x=x
i
функция S(x
i
,y), в силу (8.24),
представляет собой одномерный кубичный сплайн
S(x
i
,y)=
Σ
3
l=0
a
i,j
0,l
(y-y
j
)
l
, (8.25)
где a
i,j
0,l
определяются из условий одномерной «поперечной»
интерполяции. Аналогично, при фиксированном y=y
j
, из условия
одномерной «продольной» интерполяции определяются
коэффициенты a
i,j
k,0
:
S(x,y
j
)=
Σ
3
k=0
a
i,j
k,0
(x-x
i
)
k
, (8.26)
Заметим, что коэффициент a
i,j
0,0
в обеих случаях получается
одинаковый: a
i,j
0,0
=f
ij
. Ещё 9 коэффициентов остаются
неопределёнными. Кроме того, должны выполняться условия
гладкости сплайна на правой и верхней границах ячеек:
Σ
3
l=1
a
i,j
k,l
h
l
yj
=a
i,j+1
k,0
-a
i,j
k,0
, 1≤k≤3 (8.27)
Σ
3
k=1
a
i,j
k,l
h
k
xi
=a
i+1,j
0,l
-a
i,j
0,l
, 1≤l≤3 (8.28)
что добавляет 6 уравнений на коэффициенты. Для однозначного
определения всех 16 коэффициентов требуется три
дополнительных условия. Эти условия могут быть поставлены
по-разному. Например, возможны следующие варианты:
1)Задание интерполяции на некоторой внутренней границе
S(x
i
+qh
x
,y)=
Σ
3
k,l=0
a
i,j
k,l
(qh
x
)
k
(y-y
j
)
l
, 0<q<1, например q=0,5.
При этом значения S(x
i
+qh
x
,y
j
) определяются одномерной
«продольной» сплайн-интерполяцией значений в основных
узлах, после чего строится одномерный «поперечный» 
                 3
S(x,y)=         Σa
               k,l=0
                        i,j
                        k,l   (x-xi)k(y-yj)l.                                (8.24)
                               i,j
Коэффициенты ak,l выбираются так, чтобы
а)S(xi,yj)=fij, 0≤i≤Nx, 0≤j≤Ny.
б)S(x,y) непрерывна вместе со своими первыми и вторыми
производными. Кроме того, непрерывны смешанные производные
 ’’’   ’’’   ’’’’
Sxxy, Sxyy, Sxxyy.
      Также как и в одномерном случае, для однозначного
определения интерполирующего сплайна помимо значений в
узлах fij необходимо задать краевые условия - «условия
нагрузки». В линейном случае это могут быть условия 2-го
или 3-го рода. Т.к. значения сплайна во всех узлах заданы,
то условия 3-го рода всегда сводятся к условиям 2-го рода.
Наиболее прост случай задания нормальной производной. В
этом случае задача о построении двумерного бикубичного
сплайна может быть легко сведена к повторным построениям
одномерных        кубичных   сплайнов.    В   самом    деле,   при
фиксированном        x=xi  функция   S(xi,y),   в   силу   (8.24),
представляет собой одномерный кубичный сплайн
                 3
S(xi,y)=
             l=0
                Σa     i,j
                       0,l   (y-yj)l,                                        (8.25)
          i,j
где a     определяются из условий одномерной «поперечной»
          0,l
интерполяции. Аналогично, при фиксированном y=yj, из условия
одномерной     «продольной»    интерполяции     определяются
              i,j
коэффициенты ak,0:
                 3
S(x,yj)=        Σa
                k=0
                       i,j
                       k,0   (x-xi)k,                                        (8.26)
                                                      i,j
Заметим, что коэффициент a0,0 в обеих случаях получается
               i,j
одинаковый:   a0,0=fij.  Ещё   9    коэффициентов   остаются
неопределёнными. Кроме того, должны выполняться условия
гладкости сплайна на правой и верхней границах ячеек:
 3

Σa
l=1
      i,j l          i,j+1
        h =ak,0 -ak,0, 1≤k≤3
      k,l yj
                               i,j
                                                                             (8.27)
 3

Σa
k=1
      i,j k          i+1,j
        h =a0,l -a0,l, 1≤l≤3
      k,l xi
                               i,j
                                                                             (8.28)
что добавляет 6 уравнений на коэффициенты. Для однозначного
определения    всех   16    коэффициентов   требуется   три
дополнительных условия. Эти условия могут быть поставлены
по-разному. Например, возможны следующие варианты:
1)Задание интерполяции на некоторой внутренней границе
                                     3
       S(xi+qhx,y)=              Σa
                                k,l=0
                                         i,j
                                         k,l   (qhx)k(y-yj)l, 0

Страницы