Разностные схемы и их анализ. Петрусев А.С. - 74 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

узла, а ϕ - постоянный коэффициент. При использовании такой
системы функций, анализ схемы на неоднородной сетке
становится не сложнее анализа схемы на однородной сетке.
Пример 1.
Схема (8.3) (метод замороженных коэффициентов).
Подстановка Фурье-компоненты λ
n
e
im
ϕ
в (8.3) даёт:
(λ-1)
1+D
h
(e
i
ϕ
-e
-i
ϕ
)
τ
=
2Dλ
h
i
+h
i-1
⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤e
i
ϕ
-1
h
i
-
1-e
-i
ϕ
h
i-1
λ=
1+2iD
h
sinϕ
1+qsin
2
ϕ
2
+2iD
h
(1+
3
2
q)sinϕ
, где q=4Dτ/(h
i
h
i-1
).
Поскольку и действительная и мнимая части знаменателя
по модулю больше или равны действительной и мнимой
частям числителя соответственно, то ⎜λ⎜≤1. Схема (8.3)
безусловно устойчива.
Пример 2.
Аналог схемы (3.7) на неравномерной сетке в
центрально-взвешенном узле.
u
^
i
+D
h
(u
^
i+1
-u
^
i-1
)-u
i
+D
h
(u
i+1
-u
i-1
)
τ
+
v
3
⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
u
^
i+1
⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞
1
h
i
+
1
h
i
+h
i-1
+u
^
i
⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞
1
h
i-1
-
1
h
i
-u
^
i-1
⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞
1
h
i-1
+
1
h
i
+h
i-1
=0
(8.8)
Несложно заметить, что схема имеет погрешность
аппроксимации O(τ+h
2
) на произвольной сетке.
Подставляя в (8.8) Фурье-компоненты λ
n
e
im
ϕ
, получим:
(λ-1)
1+2iD
h
sinϕ
τ
+
λv
3
⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
(cosϕ-1)(
1
h
i
-
1
h
i-1
)+isinϕ(
1
h
i
+
1
h
i-1
+
1
h
i
+h
i-1
) =0
или, обозначая q=vτ(h
i
+h
i-1
)/(2h
i
h
i-1
):
(λ-1)
1+2iD
h
sinϕ
τ
+qλ[2(cosϕ-1)D
h
+i(
5
6
-
3
2
D
h
2
)sinϕ]=0, откуда
λ=
1+2iD
h
sinϕ
1-4qD
h
sin
2
ϕ
2
+i[2D
h
+q(
5
6
-
3
2
D
h
2
)]sinϕ
Условие устойчивости ⎜λ⎜≤1 выполнено при qD
h
≤0 или
qD
h
≥1/2. Неоднородность сетки приводит к условию
устойчивости, аналогичному правилу «против потока».
Если привлечь гидродинамическую аналогию, схема (8.8)
устойчива, когда среда течёт из узкой ячейки в широкую.
В обратном случае возникает ограничение на устойчивость
вида
τ≥⎜D
h
h/(2v)⎜. (8.9)
Заметим, что условие (8.9) несколько слабее аналогичных
ему условий для схем (3.5)-(3.6), поскольку ⎜D
h
⎜<1/3.
Таким образом, неоднородность сетки приводит к тому, 
узла, а ϕ - постоянный коэффициент. При использовании такой
системы функций, анализ схемы на неоднородной сетке
становится не сложнее анализа схемы на однородной сетке.

Пример 1. Схема (8.3) (метод замороженных коэффициентов).
     Подстановка Фурье-компоненты λneimϕ в (8.3) даёт:
          1+Dh(eiϕ-e-iϕ) 2Dλ ⎡eiϕ-1 1-e-iϕ⎤
     (λ-1)              =h +h ⎢ h - h     ⎥
                τ         i  i-1⎣ i   i-1 ⎦

              1+2iDhsinϕ
     λ=                        , где q=4Dτ/(hihi-1).
             2ϕ        3
       1+qsin 2+2iDh(1+2q)sinϕ
     Поскольку и действительная и мнимая части знаменателя
     по модулю больше или равны действительной и мнимой
     частям числителя соответственно, то ⎜λ⎜≤1. Схема (8.3)
     безусловно устойчива.

Пример 2. Аналог схемы (3.7) на неравномерной сетке в
центрально-взвешенном узле.
     ^
     ui+Dh(u ^ -u ^ )-u +D (u -u )
              i+1   i-1    i h   i+1   i-1
                        τ                                     (8.8)
       v⎡^ ⎛ 1       1 ⎞ ^ ⎛ 1 1⎞ ^ ⎛ 1               1 ⎞⎤
     +3⎢ui+1⎜h +h +h ⎟+ui⎜h -h ⎟-ui-1⎜h +h +h ⎟⎥=0
         ⎣   ⎝ i i i-1⎠      ⎝ i-1 i⎠        ⎝ i-1 i i-1⎠⎦
     Несложно        заметить,       что     схема     имеет погрешность
                               2
     аппроксимации O(τ+h ) на произвольной сетке.
     Подставляя в (8.8) Фурье-компоненты λneimϕ, получим:
            1+2iDhsinϕ
     (λ-1)                +
                  τ
     λv⎡              1 1               1 1         1    ⎤
      3 ⎢⎣(cosϕ-1)(hi-hi-1)+isinϕ(hi+hi-1+hi+hi-1)⎥⎦=0
     или, обозначая q=vτ(hi+hi-1)/(2hihi-1):
            1+2iDhsinϕ                            5 3
     (λ-1)                +qλ[2(cosϕ-1)Dh+i(6-2D2h)sinϕ]=0, откуда
                  τ
                      1+2iDhsinϕ
     λ=
                     ϕ            5 3
        1-4qDhsin22+i[2Dh+q(6-2D2h)]sinϕ
     Условие устойчивости ⎜λ⎜≤1 выполнено при qDh≤0 или
     qDh≥1/2.       Неоднородность         сетки    приводит к   условию
     устойчивости, аналогичному правилу «против потока».
     Если привлечь гидродинамическую аналогию, схема (8.8)
     устойчива, когда среда течёт из узкой ячейки в широкую.
     В обратном случае возникает ограничение на устойчивость
     вида
     τ≥⎜Dhh/(2v)⎜.                                            (8.9)
     Заметим, что условие (8.9) несколько слабее аналогичных
     ему условий для схем (3.5)-(3.6), поскольку ⎜Dh⎜<1/3.
     Таким образом, неоднородность сетки приводит к тому,

Страницы