Разностные схемы и их анализ. Петрусев А.С. - 72 стр.

Данное требование приводит к приемлемому числу узлов сетки,
если профиль функции не слишком крутой. Однако для случая
4в, хорошее разрешение на участке БВ требует излишне
большого числа узлов на участке АБ. Таким образом, в случае
решений с резкими градиентами применение равномерных сеток
приводит к резкому увеличению числа узлов, что, в свою
очередь, вызывает дополнительные расходы машинной памяти и
числа операций при решении разностных уравнений.
     Решить    данную    проблему    позволяет    использование
неоднородных сеток с переменным шагом, однако их применение
связано с рядом дополнительных трудностей. Прежде всего,
это сложность получения порядка аппроксимации выше первого,
дополнительные    усилия    для    обеспечения    устойчивости,
консервативности, монотонности, дисперсионных свойств схемы
и,    наконец,    специальный     алгоритм    для    построения
неоднородной сетки в зависимости от поведения решения. По
этой причине применение неоднородных сеток всегда должно
быть веско обосновано. Не следует применять их без
серьёзной необходимости.


п.2.Аппроксимация схем на неоднородных сетках.

     Уравнения,  с   которыми   приходится  встречаться   на
практике, обычно содержат производные первого и второго
порядка. Рассмотрением этого случая мы и ограничимся. Как
указывалось в §2 п.3, центрально-разностная аппроксимация
первой производной даёт второй порядок точности только на
однородной сетке. Это относится и к аппроксимации второй
производной по схеме (2.15). Для получения второго порядка
аппроксимации второй производной можно либо использовать
четырёхточечный   шаблон,   либо   записать   уравнение   на
промежуточном узле. Первый путь ведёт к усложнению записи
конечно-разностного уравнения и процедуры прогонки, и
основное внимание будет уделено второму пути. Как указано в
§2 п.3, схема (2.15) даёт второй порядок точности при
записи уравнения в средневзвешенной точке zi=1/3(xi+1+xi+xi-
1). Для получения второго порядка точности всего уравнения в
целом, следует аппроксимировать в этой точке первые
производные решения и само решение со вторым порядком