Разностные схемы и их анализ. Петрусев А.С. - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

точности. Для аппроксимации первой производной можно
использовать схему:
1
3
⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
u
i+1
⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞
1
h
i
+
1
h
i
+h
i-1
+u
i
⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞
1
h
i-1
-
1
h
i
-u
i-1
⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞
1
h
i-1
+
1
h
i
+h
i-1
=
=u’(z
i
)+O(h
2
) (8.1)
Для аппроксимации самого решения в точке z
i
, можно
использовать схемы
α/3(u
i+1
+u
i
+u
i-1
)+(1-α)[u
i
+D
h
(u
i+1
-u
i-1
)]=u(z
i
)+O(h
2
), (8.2)
где D
h
=1/3(h
i
-h
i-1
)/(h
i
+h
i-1
), и 0≤α≤1. При α=1 получается
положительно определённая аппроксимация, в которой все три
слагаемых входят с равными положительными коэффициентами.
Аппроксимация при α=0 знакопеременна, но обеспечивает
большое диагональное преобладание u
i
, поскольку ⎜D
h
⎜<1/3.
Пример 1.
Уравнение (3.21) на неравномерной сетке.
u
^
i
+D
h
(u
^
i+1
-u
^
i-1
)-u
i
+D
h
(u
i+1
-u
i-1
)
τ
=
2D
h
i
+h
i-1
⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
u
^
i+1
-u
^
i
h
i
-
u
^
i
-u
^
i-1
h
i-1
(8.3)
Схема обеспечивает погрешность аппроксимации O(τ+h
2
) на
произвольной неоднородной сетке. На основе (8.3) возможно
построение схемы Кранка-Николсона с аппроксимацией O(τ
2
+h
2
).
Пример 2
Уравнение (3.31) на неравномерной сетке.
а)
u
^
i
-u
i
τ
=
2D
h
i
+h
i-1
⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
u
^
i+1
-u
^
i
h
i
-
u
^
i
-u
^
i-1
h
i-1
-
v
3
⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
u
^
i+1
⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞
1
h
i
+
1
h
i
+h
i-1
+u
^
i
⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞
1
h
i-1
-
1
h
i
-u
^
i-1
⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞
1
h
i-1
+
1
h
i
+h
i-1
=0 (8.4)
Схема имеет погрешность O(τ+h
2
+hu
τ
). При решении
нестационарных задач её погрешность O(τ+h), однако при
установлении погрешность стремится к O(h
2
).
б)
u
^
i
+D
h
(u
^
i+1
-u
^
i-1
)-u
i
+D
h
(u
i+1
-u
i-1
)
τ
=
2D
h
i
+h
i-1
⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
u
^
i+1
-u
^
i
h
i
-
u
^
i
-u
^
i-1
h
i-1
-
v
3
⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
u
^
i+1
⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞
1
h
i
+
1
h
i
+h
i-1
+u
^
i
⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞
1
h
i-1
-
1
h
i
-u
^
i-1
⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞
1
h
i-1
+
1
h
i
+h
i-1
=0 (8.5)
Данная схема имеет погрешность O(τ+h
2
) на произвольной
неоднородной сетке.
п.3.Устойчивость схем на неоднородных сетках.
При анализе спектральной устойчивости схем на
неравномерных сетках возникают характерные трудности,
заключающиеся в том, что даже для уравнений с постоянными
коэффициентами Фурье-компоненты e
ikx
не являются собственными
функциями конечно-разностных операторов. Так, при анализе
схемы на шаблоне с числом узлов больше двух exp(ik(x
j+1
-
x
j
))≠exp(ik(x
j
-x
j-1
)), что сильно усложняет выкладки. Для
преодоления указанной трудности удобно использовать
базисные функции несколько иного вида: e
ij
ϕ
, где j-номер 
точности.        Для      аппроксимации           первой       производной   можно
использовать схему:
1⎡     ⎛1      1 ⎞       ⎛ 1 1⎞          ⎛ 1        1 ⎞⎤
 ⎢
3⎣ u   ⎜   +       ⎟ +u  ⎜    -   ⎟ -u   ⎜     +          ⎟⎥=
    i+1
       ⎝hi hi+hi-1⎠     i
                         ⎝hi-1 hi⎠    i-1
                                         ⎝hi-1 hi+hi-1⎠⎦
=u’(zi)+O(h2)                                                           (8.1)
Для аппроксимации самого решения в точке zi, можно
использовать схемы
α/3(ui+1+ui+ui-1)+(1-α)[ui+Dh(ui+1-ui-1)]=u(zi)+O(h2), (8.2)
где Dh=1/3(hi-hi-1)/(hi+hi-1), и 0≤α≤1. При α=1 получается
положительно определённая аппроксимация, в которой все три
слагаемых входят с равными положительными коэффициентами.
Аппроксимация при α=0 знакопеременна, но обеспечивает
большое диагональное преобладание ui, поскольку ⎜Dh⎜<1/3.
Пример 1. Уравнение (3.21) на неравномерной сетке.
^
ui+Dh(u  ^ -u ^ )-u +D (u -u )                2D ⎡^   ui+1-u^ ^    ^ ⎤
                                                             i ui-ui-1
                                          =h +h ⎢ h                   ⎥
          i+1  i-1    i    h  i+1    i-1
                                                              - h       (8.3)
                   τ                        i    i-1⎣     i       i-1 ⎦

Схема обеспечивает погрешность аппроксимации O(τ+h2) на
произвольной неоднородной сетке. На основе (8.3) возможно
построение схемы Кранка-Николсона с аппроксимацией O(τ2+h2).
Пример 2 Уравнение (3.31) на неравномерной сетке.
а)
^
ui-ui       2D ⎡^  ui+1-u^ ^     ^ ⎤
                           i ui-ui-1
       =h +h ⎢ h            - h     ⎥-
   τ      i   i-1⎣     i        i-1 ⎦
v⎡^ ⎛ 1         1 ⎞ ^ ⎛ 1 1⎞ ^ ⎛ 1                 1 ⎞⎤
3⎢⎣ui+1⎜⎝hi+hi+hi-1⎟⎠+ui⎜⎝hi-1-hi⎟⎠-ui-1⎜⎝hi-1+hi+hi-1⎟⎠⎥⎦=0             (8.4)
Схема         имеет         погрешность         O(τ+h2+huτ).         При    решении
нестационарных задач её погрешность O(τ+h), однако при
установлении погрешность стремится к O(h2).
б)
^
ui+Dh(u  ^ -u  ^ )-u +D (u -u )               2D ⎡^  ui+1-u^ ^    ^ ⎤
                                                            i ui-ui-1
                                          =h +h ⎢ h                   ⎥-
          i+1   i-1      i   h  i+1   i-1
                                                             - h
                     τ                      i   i-1⎣     i       i-1 ⎦
v⎡^ ⎛ 1         1 ⎞ ^ ⎛ 1 1⎞ ^ ⎛ 1                 1 ⎞⎤
3⎢⎣ui+1⎜⎝hi+hi+hi-1⎟⎠+ui⎜⎝hi-1-hi⎟⎠-ui-1⎜⎝hi-1+hi+hi-1⎟⎠⎥⎦=0             (8.5)
Данная схема имеет погрешность O(τ+h2) на произвольной
неоднородной сетке.


п.3.Устойчивость схем на неоднородных сетках.

     При   анализе    спектральной    устойчивости    схем   на
неравномерных    сетках   возникают   характерные    трудности,
заключающиеся в том, что даже для уравнений с постоянными
коэффициентами Фурье-компоненты eikx не являются собственными
функциями конечно-разностных операторов. Так, при анализе
схемы на шаблоне с числом узлов больше двух exp(ik(xj+1-
xj))≠exp(ik(xj-xj-1)), что сильно усложняет выкладки. Для
преодоления    указанной    трудности    удобно    использовать
                                              ijϕ
базисные функции несколько иного вида: e , где j-номер

Страницы