Математический анализ. Целые рациональные и вещественные числа - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

В доказательстве приводимой ниже теоремы используется следую-
щее свойство натуральных чисел: если
a
,
b∈
и
ab<
, то
1ab+≤
.
Т
ЕОРЕМА. В любом непустом множестве натуральных чисел есть
наименьший элемент.
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть
A ⊂
— непустое множество. Введем сле-
дующее множество:
{ : , }.B x x y Ax y= ∈ ∀∈ ≤
В стандартных терминах
B
— это множество всех (натуральных) нижних
граней множества
A
.
Множество
B
является непустым, поскольку, например,
1 B∈
. Кро-
ме того,
B ≠
. Действительно, выберем произвольный элемент
yA∈
. В
силу неравенства
,
1y +
не является нижней гранью для множест-
ва
A
,
1yB+∉
и
B ≠
.
Существует такой элемент
mB∈
, что
1mB+∉
. Действительно,
предположим противное, то есть, что для любого
mB∈
1mB+∈
. Тогда, в
силу аксиомы 5,
B =
, что неверно. Покажем, что
mA∈
. Действительно,
допустим, что
mA∉
. Тогда для каждого
yA∈
my≤
(поскольку
m
явля-
ется нижней гранью для множества
A
) и
my≠
(поскольку
mA∉
). Следо-
вательно,
my<
. Но тогда
1my+≤
и, в силу произвольности
y
,
1m +
яв-
ляется нижней гранью для множества
A
, то есть
1mB+∈
, что противоре-
чит определению числа
m
.
Итак,
mA∈
и для любого
yA∈
выполняется неравенство
my≤
. Это
и означает, что
m
является наименьшим элементом множества
A
.
Раздел 2
13
Натуральные числа
ç
è

Страницы