Математический анализ. Целые рациональные и вещественные числа - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

2) для любого
n∈
из истинности
()Pn
вытекает истинность
( 1)Pn+
.
1
P
Тогда предикат является тождественно истинным.
Иногда используется следующая форма принципа математической
индукции.
Пусть
P
— предикат, определенный на множестве
. Если выпол-
няются следующие условия:
1) выказывание
(1)P
является истинным;
2) для любого
n∈
из истинности всех высказываний
()Pk
при
1 kn≤≤
вытекает истинность
2
P
, то предикат является тож-
дественно истинным.
Доказательство проведем методом от противного. Допустим, что
предикат
P
тождественно истинным не является. Тогда множество
A
всех
n∈
, для которых высказывание
()Pn
ложно, является непустым. Обо-
значим через
m
наименьший элемент этого множества. Тогда
1m >
, по-
скольку высказывание
(1)P
истинно (и, следовательно,
1 A∉
). Посколь-
ку
m
наименьший элемент множества
A
, высказывания
()Pk
при
1k =
, 2,
…,
1m −
являются истинными. А тогда истинным, в силу условия 2),
должно быть и высказывание
()Pm
. Полученное противоречие завершает
доказательство.
1
то есть справедлива импликация
( ) ( 1)Pn Pn⇒+
).
2
то есть справедлива импликация
(1) (2) ( ) ( 1)P P Pn Pn∧∧ ∧ ⇒ +
.
Раздел 2
15
Натуральные числа
ç
è

Страницы