Математический анализ. Целые рациональные и вещественные числа - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

Применим эти соображения к введенному выше множеству
. Обо-
значим множество всех классов эквивалентности через
. Эти классы эк-
вивалентности будем называть целыми числами. На множестве
введем
операции сложения и умножения. Пусть
α
,
β
∈
— два класса эквива-
лентности. Выберем произвольные элементы
(,)mn
αα
α
∈
,
(,)mn
ββ
β
∈
.
Обозначим через
αβ
+
тот класс эквивалентности из
, который содер-
жит элемент
( ,)m mn n
α βα β
++
. Обозначим через
αβ
тот класс эквива-
лентности, который содержит элемент
α β αβ αβ αα
. По-
скольку в определении сложения и умножения выбираются некоторые
элементы из каждого класса, нужно доказать, что результат не зависит от
выбора этого элемента (а зависит только от исходных классов
α
и
β
).
Мы не будем приводить полное доказательство этого факта, ограни-
чившись лишь примером. Пусть
α
и
β
— классы эквивалентности, со-
держащие пары
(1, 3)
и
(5,2)
соответственно. Тогда суммой
αβ
+
будет
класс эквивалентности, содержащий пару
(6,5)
. Продемонстрируем, что
класс эквивалентности
αβ
+
не зависит от выбора представляющей его
пары. Для этого выпишем элементы этих классов:
{(1,3),(2,4),(3,5),(4,6),(5,7), },
{(4,1),(5,2),(6,3),(7,4),(8,5), },
{(2,1),(3,2),(4,3),(5,4),(6,5),(7,6),(8,7), }.
α
β
αβ
=
+
=
=
+=
Пары, с помощью которых был найден класс эквивалентности
αβ
+
, под-
черкнуты одной линией. Если мы возьмем другие пары, например,
(3,5)
и
(4,1)
(подчеркнуты двойной линией), то получим тот же класс эквивалент-
ности.
Раздел 3
18
Целые числа
ç
è

Страницы