ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
рациональными числами. Операции сложения и умножения на множест-
ве
введем с учетом приведенных в начале этого параграфа соотноше-
ний.
Пусть
α
,
β
∈
— два класса эквивалентности. Выберем произволь-
ные элементы
(,)mn
αα
α
∈
,
(,)mn
ββ
β
∈
. Обозначим через
αβ
+
тот класс
эквивалентности из
, который содержит элемент
( ,)mn nm nn
αβ α β αβ
+
.
Обозначим через
αβ
тот класс эквивалентности, который содержит эле-
мент
( ,)mm nn
α β αβ
. Доказывается, что результат, то есть итоговый класс
эквивалентности, не зависит от выбора этого элемента (а зависит только от
исходных классов
α
и
β
). Теперь путем подходящих алгебраических пре-
образований (с учетом свойств целых чисел) дается доказательство основ-
ных свойств рациональных чисел.
З
АМЕЧАНИЕ. При определении рациональных чисел можно ограни-
читься знаменателями, принадлежащими множеству натуральных чисел.
Можно определить множество
по-другому, рассматривая упорядочен-
ные пары вида
(,)mn
, где
m∈
,
n∈
. Такая схема приведет, по сущест-
ву, к тому же множеству
.
Приведенные построения, можно интерпретировать так: кольцо це-
лых чисел расширено до поля рациональных чисел. Такая конструкция до-
пускает далеко идущее обобщение. Приведем его в предельно краткой
форме.
Пусть
R
— коммутативное кольцо с единицей. Ненулевые элементы
a
,
bR∈
называются делителями нуля, если
0ab =
. В рассматриваемом на-
ми случае числовых множеств, делителей нуля нет. Легко привести приме-
ры коммутативных колец, имеющих делители нуля. Рассмотрим, напри-
мер, множество всех диагональных матриц второго порядка с веществен-
Раздел 4
22
Рациональные числа
ç
è
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 20
- 21
- 22
- 23
- 24
- …
- следующая ›
- последняя »
