Математический анализ. Целые рациональные и вещественные числа - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

Пусть
a
,
b∈
. Рассмотрим производимые этими числами сечения
|AA
αα
α
−+
=
,
|AA
ββ
β
−+
=
. Легко проверить, что
|, |,
ab ab ab ab
AA AA
αβ α β
++ ++
−+ −+
= +=
,,.ab ab ab
αβ αβ αβ
< ⇔< > ⇔> = ⇔=
Иначе говоря, операции сложения и умножения, выполняемые с сечениями
производимыми рациональными числами, согласованы с соответствую-
щими действиями, выполняемыми с самими этими числами. Аналогичный
факт имеет место и для отношений с сечениями и числами. Это обстоя-
тельство позволяет отождествить рациональные числа с производимыми
ими сечениями, то есть считать, что
⊂
. Отметим, что определенное
выше сечение
ν
отождествляется с числом
0
. Говоря о рациональных чис-
лах в следующем абзаце, мы имеем в виду именно такие сечения.
Остается рассмотреть сечения, верхние классы которых не имеют
наименьшего элемента, то есть сечения, не задаваемые рациональными
числами. Оказывается, что для такого сечения
α
∈
можно построить по-
следовательности рациональных чисел
и
, таких, что для
любого
n
nn
β αβ
−+
<<
и разность
nn
ββ
+−
−
может быть сделана для всех
достаточно больших значений
n
меньшей любого положительного рацио-
нального числа. Это позволяет представить сечение
α
с помощью беско-
нечной десятичной дроби (снова, апеллируя к интуитивным представлени-
ям, с помощью числа, являющегося пределом обеих последовательностей
и
). Разумеется, такой подход возможен и для сечений, за-
даваемых рациональными числами, однако в данном контексте это уже ин-
тереса не представляет.
Раздел 5
30
Вещественные числа
ç
è

Страницы