ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
В заключение рассмотрим вопрос о полноте множества веществен-
ных чисел, введенных таким способом. Поясним, что имеется в виду. Ко-
гда мы рассматривали сечения, являющиеся парами множеств рациональ-
ных чисел, оказывалось, что некоторые сечения содержат «пограничное»
число, разделяющее два этих множества, а некоторые не содержат. Допол-
нение множества рациональных чисел иррациональными именно позволя-
ет ввести эти «пограничные» числа. Возникает следующий вопрос. Если
мы применим использованный выше прием для множества вещественных
чисел, не потребует ли это введения новых чисел, разделяющих классы?
Более точно. Пару непустых множеств
A
−
,
A
+
⊂
назовем сечением
множества вещественных чисел, если
1) каждое вещественное число попадает в одно и только одно из этих
множеств;
2) каждое число из множества
A
−
меньше каждого числа из множе-
ства
A
+
.
Ответ на поставленный выше вопрос дает следующая теорема, дока-
занная Дедекиндом.
Т
ЕОРЕМА. Для любого сечения
|AA
−+
в множестве вещественных
чисел существует единственное вещественное число, которое производит
это сечение. Это число будет наибольшим в нижнем классе или наимень-
шим в верхнем классе.
Возможен альтернативный вариант построения теории веществен-
ных чисел а основе сечений Дедекинда. Сначала, как и выше, определяется
множество
всех сечений и рациональные числа отождествляются с се-
чениями специального вида. Во множестве
вводятся отношения «
>
», «
Раздел 5
31
Вещественные числа
ç
è
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 29
- 30
- 31
- 32
- 33
- …
- следующая ›
- последняя »
