Математический анализ. Целые рациональные и вещественные числа - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

4°. Последовательность
1
{}
nn
c
+∞
=
является сходящейся в том и толь-
ко том случае, когда выполняется следующее условие: для любого
0
ε
>
существует такое
N
, что для всех
m
,
nN≥
||
mn
cc
ε
−<
.
Последовательность
1
{}
nn
c
+∞
=
, удовлетворяющая последнему условию,
называется фундаментальной.
Мы видим, что основные свойства пределов последовательностей
при переходе к комплексному случаю остаются прежними. Заметим толь-
ко, что здесь нет уже свойств монотонных последовательностей, поскольку
при переходе к комплексным числам «потеряно» свойство упорядоченно-
сти: отсутствует отношение «больше» — «меньше».
Совершенно аналогично на случай комплекснозначных функций пе-
реносится понятия предела функции. Предположим, что комплекснознач-
ная функция
f
определена в некоторой выколотой окрестности точки
a∈
. Представим ее в виде
, где функции
u
и
v
при-
нимают вещественные значения. Тогда равенство
lim ( )
xa
f x A Bi
→
= +
равносильно равенствам
lim ( ) , lim ( ) .
xa xa
ux A vx B
→→
= =
Таким образом, «комплексная» теория пределов сводится к «веществен-
ной» теории.
Аналогичным образом обстоит дело и с производными. Если ком-
плекснозначная функция
() () ()f x u x iv x= +
определена в некоторой окре-
Раздел 6
40
Комплексные числа
ç
è

Страницы