ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Покажем, исходя из определения (∗), что для любых
w
,
z ∈
вы-
полняется равенство
wz w z
e ee
+
= ⋅
, то остается в силе стандартное свойство
показательной функции.
Пусть
w a bi= +
,
z c di= +
. Тогда
( ) ( ),wz ac bdi+= + + +
(cos sin ) (cos sin )
wz a c
e e e bi be di d⋅= + ⋅ + =
((cos cos sin sin ) (cos sin sin cos ) )
ac
e bd bd bd b di
+
= ⋅ −⋅ + ⋅+⋅ =
(cos( ) sin( ) ) .
ac wz
e bd bdi e
++
= ++ + =
Отсюда, в частности, получаем, что
()
w n nw
ee=
для любого
n∈
.
Отметим, что для любого
α
∈
функция
() ,
x
fx e x
α
= ∈
является непрерывной. Действительно, если
i
αβγ
= +
, то
( ) (cos sin ), .
x
fx e x i x x
β
γγ
=+∈
(∗)
Непрерывность функции
f
следует из непрерывности функций
x
e
β
,
cos x
γ
,
sin x
γ
.
Покажем, что
()
x
fx e
α
α
′
=
,
x∈
. Дифференцируя по
x
обе части
равенства (∗), получаем:
( ) (cos sin ) ( sin cos )
xx
fx e xi x e x i x
ββ
β γ γ γγγ γ
′
= + +− + =
Раздел 6
44
Комплексные числа
ç
è
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 42
- 43
- 44
- 45
- 46
- …
- следующая ›
- последняя »
