ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Отметим, что именно эти свойства (и только они, а не исходное оп-
ределение модуля) используются в приведенном выше построении множе-
ства
(точнее, в определении и обосновании, если их проводить деталь-
но).
Оказывается, что существуют другие функции на множестве
, об-
ладающие указанными выше свойствами 1)–3).
О
ПРЕДЕЛЕНИЕ. Нормой называется функция
x x→‖‖
, определенная
на множестве рациональных чисел, принимающая вещественные значения
и обладающая следующими свойствами:
1)
0x ≥‖‖
, причем
0x =‖‖
тогда и только тогда, когда
0x =
;
2)
xy x y⋅= ⋅‖ ‖‖ ‖‖ ‖
;
3)
xy x y+≤ +‖ ‖‖‖‖‖
.
Для любой такой нормы возможен процесс, аналогичный намечен-
ному выше. Такой процесс называется пополнением поля
по данной
норме. Чтобы отличать произвольную норму от модуля, мы пока будем
обозначать ее через
|| ||x
.
П
РИМЕР 1. Выберем и зафиксируем число
α
,
01
α
<≤
. Определим
величину
|| || | |xx
α
=
,
x∈
. Можно проверить, что эта функция обладает
указанными выше свойствами 1)–3). В частности, свойство 3) вытекает из
легко проверяемого неравенства
(1 ) 1 , 0 .ttt
αα
+ ≤ + ≤ <∞
Раздел 7
51
p-адические числа
ç
è
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 49
- 50
- 51
- 52
- 53
- …
- следующая ›
- последняя »
