Математический анализ. Целые рациональные и вещественные числа - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

Подчеркнем, что эта функция принимает только рациональные значения.
Можно проверить, что функция
||
p
⋅
является нормой на множестве
. Бо-
лее того, свойство 3) справедливо в следующей более сильной форме:
| | max{| | ,| | }.
p pp
xy x y+≤
З
АМЕЧАНИЕ. Норма
·‖‖
называется неархимедовой, если для любых
x
,
y∈
выполняется соотношение
max{ , }.xy x y+≤‖ ‖ ‖ ‖‖ ‖
Если норма не
является неархимедовой, она называется архимедовой. Введенная норма
|·|
p
является неархимедовой. Функция «модуль» является архимедовой
нормой. В данном контексте для функции «модуль» используется также
обозначение
|·|
∞
.
Отметим, что
, например,
33 3
11 1
|3| , |9| , |27| .
3 9 27
= = =
Из определения нормы
|·|
p
следует, что для любого целого числа
n
вы-
полняется неравенство
| |1
p
n ≤
.
Две нормы, определенные на множестве
, называются эквивалент-
ными, если любая последовательность, фундаментальная по одной норме,
является фундаментальной и по другой. Оказывается, что любая нетриви-
альная норма на поле
эквивалентна либо обычной функции «модуль»,
либо норме
||
p
⋅
при некотором простом
p
, причем любые две различные
нормы указанного выше вида эквивалентными не являются. Норма
||
p
⋅
на-
зывается
p
-адической.
Раздел 7
54
p-адические числа
ç
è

Страницы