Математический анализ. Целые рациональные и вещественные числа - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

101
,x a ap= +⋅
2
2 01 2
,x a apap= + ⋅+ ⋅
23
301 2 3
,xaapapap= + ⋅+ ⋅ + ⋅
и так далее. Проверим, что эта последовательность является фундамен-
тальной по
p
-адической норме. Действительно, при
mn>
12
12
,
nn m
mnn n m
x x a p a p ap
++
++
−= ⋅ + ⋅ ++ ⋅
и
1
| |1
n
mn
xx p
+
−≤
(равенство достигается, если
1
0
n
a
+
≠
). Это и означает
требуемую фундаментальность.
Предел рассматриваемой последовательности обозначается в виде
бесконечной суммы
(∗)
Объекты вида (∗), понимаемые именно как пределы в указанном выше
смысле, называются целыми
p
-адическими числами. В таком контексте
«обычные» целые числа называются «целыми рациональными».
Рассмотрим теперь дробь вида
n
ap
, где
a
— неотрицательное це-
лое число,
1n ≥
. Представляя число
a
в системе счисления по основанию
p
, после почленного деления на
n
p
получаем следующее представление:
2
1
1
01 2
1
,
m
nn
m
nnn
aa
aa
a apap a p
p
ppp
− −+
−
−
= + ++ ++⋅+⋅ ++ ⋅
где
01
i
ap≤≤−
для всех
i
,
nim−≤≤
.
Раздел 7
56
p-адические числа
ç
è

Страницы