ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Можно рассматривать и бесконечные суммы вида
2
1
1
01 2
1
,
m
nn
m
nn
aa
a
a apap a p
p
pp
− −+
−
−
+ ++ ++⋅+⋅ ++ ⋅ +
(∗)
где
01
i
ap≤≤−
для всех значений индексов, а сумма понимается как пре-
дел в указанном выше смысле. Такое представление
p
-адического числа
называется его каноническим представлением.
Оказывается, что поле
p
состоит в точности из всех таких сумм,
причем каждый элемент допускает единственное разложение
1
1 10 12
. ( ).
nn m
a a a a aa a p
− −+ −
подобного
вида. Число вида (∗) записывается по аналогии с десятичной записью ве-
щественных чисел следующим образом:
Действия с
p
-адическими числами выполняются по правилам, аналогич-
ным действиям с обычными десятичными числами, и мы на этом останав-
ливаться не будем. Норма
||
p
⋅
единственным образом продолжается на все
поле
,
p
при этом множество значений нормы остается прежним, тем же,
каким оно было на множестве
, то есть множеством
{0} { | }
n
pn∪∈
2
0
n
a ≠
. В
частности, если в представлении (∗) , то
p
-адическая норма этого
числа равна
n
p
.
Отметим следующие свойства
p
-адических чисел.
1
В отличие от случая вещественных чисел, где в некоторых случаях одно и то же число
допускает неединственное представление в виде бесконечной десятичной дроби, на-
пример,
1 0.999 1.000= =
.
2
Подчеркнем, что в случае пополнения поля рациональных чисел по норме
|·|
∞
множе-
ство значений нормы расширяется и совпадает с множеством всех неотрицательных
вещественных чисел.
Раздел 7
57
p-адические числа
ç
è
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 55
- 56
- 57
- 58
- 59
- …
- следующая ›
- последняя »
