Математический анализ. Целые рациональные и вещественные числа - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

число
1i = −
и определено поле комплексных чисел вида
a bi+
,
a
,
b∈
, оказалось, что:
1) все полиномиальные уравнения с коэффициентами в
раз-
решимы в
—это знаменитая основная теорема алгебры. (короче
можно сказать так: поле
алгебраически замкнуто);
2) поле
полно относительно (единственной) нормы, продол-
жающей норму
||⋅
с
(эта норма задается формулой
22
||a bi a b+= +
), т. е. каждая последовательность Коши
имеет предел вида
a bi+
(так как
{}
j
a
и
{}
j
b
—также последователь-
ности Коши в
, то в качестве
a
и
b
берутся их пределы).
Итак, в данном случае процесс оканчивается на
, которое есть
всего лишь «квадратичное расширение» поля
(т. е. оно получается
присоединением корня квадратного уравнения
). Поле
ал-
гебраически замкнуто и полно относительно архимедовой метрики.
Но увы! В случае нормы
||
p
⋅
все не так просто. Построив
p
,
пополнение
относительно
||
p
⋅
, нам придется затем образовать бес-
конечную последовательность расширений, задаваемых присоедине-
нием корней уравнений старших степеней (не только квадратных).
Хуже того, построенное в результате алгебраически замкнутое
поле, которое обозначается через
p
, не полно. Поэтому нужно будет
«заткнуть дыры» в этом и так уже громадном поле, что приведет к
еще большему полю
Ω
.
Раздел 7
59
p-адические числа
ç
è

Страницы