ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
2. Открытые и замкнутые множества
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть
n
X ⊂
— непустое множество. Точка
xX∈
называется внутренней точкой этого множества, если существует такое
0
ε
>
, что
()Ux X
ε
⊂
.
З
АМЕЧАНИЕ. Иначе говоря, точка
xX∈
называется внутренней точ-
кой множества
X
, если вместе с этой точкой множество
X
содержит
ε
-
окрестность этой точки при некотором значении
ε
.
О
ПРЕДЕЛЕНИЕ. Непустое множество
n
X ⊂
называется открытым,
если все его точки являются внутренними. Пустое множество по опреде-
лению считается открытым.
Примером открытого множества является все множество
n
.
Л
ЕММА. Для любых
n
a∈
и
0R >
шар
()
R
Ua
является открытым
множеством.
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть
()
R
xUa∈
. Тогда
|| ||xa R−<
. Обозначим:
|| || ( 0).R xa
ε
=−− >
Покажем, что
() ()
R
Ux Ua
ε
⊂
. Действительно, предположим, что
()yUx
ε
∈
,
то есть
|| ||yx
ε
−<
. Тогда, применяя неравенство треугольника, получаем:
|| || || || || || || || ( || ||) || || ,ya yx xa xa R xa xa R
ε
−≤−+−<+−=−− +−=
то есть
|| ||ya R−<
, и
()
R
yUa∈
. Мы доказали требуемое вложение.
Лемма доказана.
Часто удобно давать геометрическую интерпретацию вводимых
здесь понятий. Обычно эта делается в случае
2n =
. При этом
( , ) || ||xy y x
ρ
= −
становится обычным расстоянием между точками
x
и
y
, открытый
шар
()Ua
ε
становится открытым кругом
1
ε
радиуса с центром в точке
a
.
1
То есть кругом, из которого исключена ограничивающая его окружность.
Глава 1
10
Функции нескольких переменных
ç
è
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- …
- следующая ›
- последняя »
