Математический анализ. Функции нескольких переменных. Функциональные ряды - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

ТЕОРЕМА 1. Пусть
1
{}
kk
x
+∞
=
— последовательность точек простран-
ства
n
,
(1) (2) ( )
( , , , ), 1, 2, .
n
k
kk k
x xx x k= =
Последовательность
1
{}
kk
x
+∞
=
сходится к точке
12 )
(, , ,
n
n
a aa a= ∈
при
k → +∞
в том и только том случае, когда для каждого
1i =
, 2, …,
n
имеет место равенство
.
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для каждого
1i =
, 2, …,
n
выполняется доказан-
ное выше неравенство
() ( )
1
| | || || max | |.
ij
ik j
kk
jn
x a xa n x a
≤≤
−≤ −≤ ⋅ −
Сформули-
рованное утверждение непосредственно вытекает из этого соотношения.
О
ПРЕДЕЛЕНИЕ. Непустое множество
n
X ⊂
называется ограничен-
ным, если существует такая константа
M
, что для каждого
xX∈
выпол-
няется оценка
||xM≤
.
З
АМЕЧАНИЕ. Легко проверить, что множество
n
M ⊂
является огра-
ниченным в том и только том случае, когда для любого
1i =
, 2, …,
n
мно-
жество всех
i
-х координат точек множества
M
является ограниченным.
О
ПРЕДЕЛЕНИЕ. Последовательность
1
{}
kk
x
+∞
=
элементов пространст-
ва
n
называется ограниченной, если множество ее значений ограничено,
то есть существует такая константа
M
, что для всех
n
k ∈
выполняется
оценка
|| ||
k
xM≤
.
Л
ЕММА БОЛЬЦАНО-ВЕЙЕРШТРАССА. Из любой ограниченной последо-
вательности элементов пространства
n
можно выделит сходящуюся
подпоследовательность.
Глава 1
8
Функции нескольких переменных
ç
è
Больцано
Вейерштрасс

Страницы