Математический анализ. Функции нескольких переменных. Функциональные ряды - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть
1
{}
kk
x
+∞
=
— ограниченная последовательность
элементов пространства
n
. Введем в рассмотрение координаты точек
k
x
:
(1) (2) ( )
( , , , ).
n
k
kk k
x xx x=
Для каждого из указанных значений
i
последовательностей
i
-х координат
()
1
{}
i
k
k
x
+∞
=
является ограниченной.
Из ограниченности числовой последовательности
(1)
1
{}
k
k
x
+∞
=
и леммы
Больцано-Вейерштрасса для числовых последовательностей следует, что
эта последовательность имеет сходящуюся подпоследовательность
(1)
1
{}
k
k
n
x
+∞
=
. Заменяя исходную последовательность элементов пространст-
ва
n
ее подпоследовательностью
1
{}
k
nk
x
+∞
=
, будем считать что у исходной
последовательности элементов пространства
n
последовательность пер-
вых координат является сходящейся. Теперь рассматриваем последова-
тельность вторых координат, то есть последовательность
(2)
1
{}
k
k
x
+∞
=
. Эта по-
следовательность является ограниченной и, следовательно, содержит схо-
дящуюся подпоследовательность
. Снова заменяем последователь-
ность
1
{}
kk
x
+∞
=
ее подпоследовательностью
1
{}
k
nk
x
+∞
=
. При этом последова-
тельность вторых координат становится сходящейся. Последовательность
первых координат останется сходящейся как подпоследовательность схо-
дящейся числовой последовательности. Продолжая этот процесс, мы полу-
чим из исходной последовательности элементов пространства
n
ее схо-
дящуюся подпоследовательность.
Лемма доказана.
Глава 1
9
Функции нескольких переменных
ç
è

Страницы