Математический анализ. Функции нескольких переменных. Функциональные ряды - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точка
n
a∈
называется предельной точкой множест-
ва
n
A ⊂
, если существует последовательность
1
{}
kk
x
+∞
=
точек множест-
ва
A
, каждая из которых не совпадает с точкой
a
и такая, что
lim
n
n
xa
→+∞
=
.
У
ПРАЖНЕНИЕ. Доказать следующее утверждение. Точка
n
a∈
явля-
ется предельной точкой множества
n
A ⊂
, тогда и только тогда, когда для
любого
0
ε
>
выполняется соотношение
()AUa
ε
′
∩ ≠∅
.
З
АМЕЧАНИЕ. Если точка
aA∈
не является предельной для множест-
ва
A
, она называется изолированной точкой этого множества. Дадим пря-
мое определение изолированной точки. Запишем условие того, что точка
a
является предельной, пользуясь предыдущим упражнением:
Тогда отрицание последнего высказывания выглядит так:
( .0)AUa
ε
ε
′
∃> ∩ =∅
Последнее условие можно переписать так:
0 ( ) { }.AUa a
ε
ε
∃> ∩ =
Поэтому можно дать следующее определение изолированной точки.
О
ПРЕДЕЛЕНИЕ. Точка
aA∈
называется изолированной, если сущест-
вует
ε
-окрестность этой точки, не содержащая точек множества
A
, отлич-
ных от
a
.
О
ПРЕДЕЛЕНИЕ. Непустое множество
n
A ⊂
называется замкнутым,
если оно содержит все свои предельные точки. Пустое множество считает-
ся по определению замкнутым.
О
ПРЕДЕЛЕНИЕ. Замкнутым шаром в пространстве
n
с центром в
точке
n
a∈
и радиусом
0R >
называется множество
{ : ,|| || }.
n
xx x a R∈ −≤
Глава 1
13
Функции нескольких переменных
ç
è

Страницы