Математический анализ. Функции нескольких переменных. Функциональные ряды - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

1) пересечение любого (не обязательно конечного) семейства замк-
нутых подмножеств пространства
n
является замкнутым подмножест-
вом;
2) объединение конечного числа замкнутых подмножеств простран-
ства
n
является замкнутым подмножеством;
3) доказать, что свойство 2), вообще говоря, не имеет место в случае
бесконечного семейства замкнутых подмножеств.
У
КАЗАНИЕ. В случае 3) рассмотреть объединение замкнутых шаров с
центром в произвольной точке
a
и радиусами
1
1
n
−
,
2n =
, 3, … .
О
ПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть
n
X ⊂
. Множество, получаемое из множест-
ва
X
путем добавления всех его предельных точек, называется замыкани-
ем множества
X
и обозначается через
X
.
Л
ЕММА. Замыкание произвольного множества
n
X ⊂
является
замкнутым множеством.
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если
X = ∅
, то множество предельных точек мно-
жества
X
является пустым, и
X = ∅
. Пустое множество является замкну-
тым по определению.
Предположим теперь, что
X ≠∅
и
— предельная точка множест-
ва
X
. Докажем, что точка
является предельной также и для множест-
ва
X
. Дальнейшие построения рекомендуется сравнивать с рисунком, где
изображен случай
2
.
Выберем произвольное
0
ε
>
. По определению предельной точки
существует точка
bX∈
, удовлетворяющая условиям:
ba≠
,
ba
ε
−<
.
Выберем число
0
δ
>
, удовлетворяющее условиям:
ba
δε
<− −
,
ba
δ
<−
. Такое число можно выбрать, поскольку выполняются неравен-
ства
Глава 1
15
Функции нескольких переменных
ç
è

Страницы