Математический анализ. Функции нескольких переменных. Функциональные ряды - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

Следующее утверждение дает обоснование приведенному определе-
нию.
Л
ЕММА. Замкнутый шар в пространстве
n
является замкнутым
множеством.
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для произвольных
n
a∈
и
0R >
обозначим:
{ : ,|| || }.
n
B xx x a R= ∈ −≤
Пусть
1
{}
kk
x
+∞
=
— последовательность точек множества
B
и
lim
k
k
xy
→+∞
=
.
Покажем, что
yB∈
.
Для произвольного
k ∈
, применяя неравенство треугольника для
нормы, получаем:
поскольку
k
xB∈
. Переходя к пределу в неравенстве
|| || || ||
k
ya yx R−≤− +
при
k → +∞
, получаем, что
|| ||yR≤
, то есть
yB∈
, что и требовалось дока-
зать.
У
ПРАЖНЕНИЕ. Доказать, что если для последовательности точек
1
{}
kk
x
+∞
=
выполняется условие
k
xa→
при
k → +∞
, то
lim || || || ||
k
k
xa
→+∞
=
. Вы-
вести отсюда результат предыдущей леммы.
У
ПРАЖНЕНИЕ. Пользуясь только определениями открытого и замкну-
того множества, доказать, что для любых чисел
a
,
b
, удовлетворяющих
условию
ab−∞ < < < +∞
промежуток
(,)ab ⊂
является открытым мно-
жеством, промежуток
[,]ab ⊂
— замкнутым множеством, а промежутки
(,]ab
и
[,)ab
не являются ни открытыми, ни замкнутыми. Сформулировать
аналогичные утверждения для случая неограниченных промежутков.
У
ПРАЖНЕНИЕ. Доказать, что
Глава 1
14
Функции нескольких переменных
ç
è

Страницы