Математический анализ. Функции нескольких переменных. Функциональные ряды - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

Лемма доказана.
Приведенную лемму можно переформулировать следующим обра-
зом: для замкнутого множества выполняется соотношение
XX=
. Из до-
казанной леммы непосредственно вытекает также следующее утвержде-
ние: множество
n
X ⊂
замкнуто в том и только том случае, когда
XX=
.
О
ПРЕДЕЛЕНИЕ. Точка
n
a∈
называется граничной точкой множест-
ва
X
, если любая окрестность этого множества содержит как точки мно-
жества
X
, так и точки, не принадлежащие множеству
X
. Границей мно-
жества
X
называется множество всех граничных точек множества
X
.
Граница множества
X
обозначается через
X∂
.
З
АМЕЧАНИЕ. Легко проверить, что в определении граничной точки
достаточно ограничиться не произвольными окрестностями, а
ε
-окрест-
ностями: точка
n
a∈
является граничной точкой множества
X
, в том и
только том случае, когда для любого
0
ε
>
множество
()Ua
ε
содержит как
точки множества
X
, так и точки, не принадлежащие множеству
X
.
П
РИМЕР. Пусть
—открытый шар единичного
радиуса с центром в нуле:,
{ : , | | 1}
n
B xx x=∈≤
— замкнутый единичный
шар с центром в нуле,
{ : | | 1}S xx= =
—сфера единичного радиуса с цен-
тром в нуле. Легко проверить, что
0
BBS∂=∂ =
.
У
ПРАЖНЕНИЕ. Доказать следующие утверждения.
1) Множество
n
X ⊂
замкнуто в том и только том случае, когда
XX∂⊂
.
2) Если
X
— замкнутое (открытое) множество, то множество
\
n
X
является открытым (замкнутым).
Глава 1
17
Функции нескольких переменных
ç
è

Страницы