Математический анализ. Функции нескольких переменных. Функциональные ряды - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

3) Для любого множества
n
X ⊂
множество
X∂
является замкну-
тым.
Справедливо следующее утверждение.
Т
ЕОРЕМА 2. Для непустого множества
n
X ⊂
следующие условия
равносильны:
1) множество
X
является замкнутым и ограниченным;
2) любая последовательность элементов множества
X
содержит
подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке множества
X
.
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1) ⇒ 2) Пусть
1
{}
kk
x
+∞
=
— произвольная последова-
тельность точек множества
X
. Множество
X
является ограниченным.
Поэтому данная последовательность также является ограниченной. В силу
леммы Больцано-Вейерштрасса, эта последовательность содержит подпос-
ледовательность
1
{}
k
nk
x
+∞
=
, сходящуюся к некоторой точке
a
. Если для не-
которого
k ∈
выполняется равенство
k
n
ax=
, то
, поскольку
k
n
xX∈
. Если для всех
k ∈
k
n
xa≠
, то точка
a
является предельной точ-
кой последовательности
1
{}
k
nk
x
+∞
=
и, следовательно,
, в силу замкнуто-
сти множества
X
.
2) ⇒ 1) Покажем сначала, что множество
X
является ограниченным.
Допустим противное. Это означает, что для любого
0M >
найдется точ-
ка
, для которой
||xM>
. Отсюда следует, что можно построить по-
следовательность
1
{}
kk
x
+∞
=
точек множества
X
, удовлетворяющую услови-
ям:
12 3
| |1,| |2,| |3,,| | , .
n
x x x xn>> > >
Любая подпоследовательность этой последовательности не является огра-
ниченной и, следовательно, не является сходящейся. Полученное противо-
речие доказывает ограниченность множества
X
.
Глава 1
18
Функции нескольких переменных
ç
è

Страницы