Математический анализ. Функции нескольких переменных. Функциональные ряды - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

жения
:fX→
. Множество
X
называется областью определения функ-
ции
f
. Значение функции
f
в точке
12
(, , , )
n
x xx x=
обозначается через
()fx
или через
12
(, , , )
n
fxx x
.
О
ПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть функция
f
определена на множестве
X
, и точ-
ка
a
является предельной для этого множества. Число
A
называется пре-
делом функции
f
по множеству
X
при
, если по любому
0
ε
>
най-
дется такое
0
δ
>
, что для всех
xX∈
, удовлетворяющих условию
0| |xa
δ
<−<
,
выполняется неравенство
| () |fx A
ε
−<
.
Число
A
из приведенного определения находится однозначно. Мы
будем обозначать его следующим образом:
,
lim ( )
xa
xX
fx
→
∈
или просто
lim ( )
xa
fx
→
,
если область определения функции
f
ясна из контекста. Используется
также следующая запись. Если
12
(, , , )
n
a aa a=
, то
lim ( )
xa
fx
→
обозначается
так:
11
22
12
.........
lim ( , , , ).
nn
n
xa
xa
xa
fxx x
→
→
→
На рассматриваемый случай переносятся все свойства пределов
функций одной переменной. В частности, имеют место следующие два ут-
верждения, доказательства которых совершенно аналогичны случаю одной
переменной.
Т
ЕОРЕМА 3 (КРИТЕРИЙ КОШИ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ).
Предположим, что функция
f
определена на множестве
X
, и точка
a
является предельной для этого множества. Следующие условия эквива-
лентны:
Глава 1
20
Функции нескольких переменных
ç
è

Страницы