Математический анализ. Функции нескольких переменных. Функциональные ряды - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

1) существует
,
lim ( )
xa
xX
fx
→
∈
;
2) для любого
0
ε
>
найдется такое
0
δ
>
, что для любых
x
′
,
x
′′
,
удовлетворяющих условиям
x
′
,
xX
′′
∈
,
0| |xa
δ
′
< −<
,
0| |xa
δ
′′
< −<
выпол-
няется неравенство
| ( ) ( )|fx fx
ε
′ ′′
−<
.
З
АМЕЧАНИЕ. Условие
x
′
,
xX
′′
∈
,
0| |xa
δ
′
< −<
,
0| |xa
δ
′′
< −<
могут
быть записаны следующим образом:
x
′
,
.
У
ПРАЖНЕНИЕ. Доказать, что условие 2) равносильно следующему:
для любого
0
ε
>
найдется такая выколотая окрестность
()Ua
′
, что для
любых
x
′
,
x
′′
, удовлетворяющих условию
x
′
,
()x X Ua
′′ ′
∈∩
выполняется
неравенство
| ( ) ( )|fx fx
ε
′ ′′
−<
.
Аналогично случаю функций одной переменной вводится понятие
функций, ограниченных сверху или снизу, и «просто» ограниченных
функций.
Т
ЕОРЕМА 4. Предположим, что функция
f
определена на множест-
ве
X
, точка
a
является предельной для этого множества и существует
,
lim ( )
xa
xX
fx
→
∈
Тогда существует такое
0
δ
>
, что функция
f
ограничена на множест-
ве
()X Ua
δ
′
∩
.
Это стандартное утверждение о локальной ограниченности функции
в окрестности точки
a
, и мы опускаем его доказательство.
4. Функции, непрерывные в точке
Предположим, что функция
f
определена на множестве
n
X ⊂
и
точка
aX∈
является предельной точкой множества
X
.
Глава 1
21
Функции нескольких переменных
ç
è

Страницы