Математический анализ. Функции нескольких переменных. Функциональные ряды - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Выберем произвольное
0
ε
>
и найдем такое
0
δ
>
,
что для всех
xX∈
, удовлетворяющих условию
|| ||xa
δ
−<
имеет место
оценка
| ( ) ( )|fx fa
ε
−<
. Теперь найдем такое
0
σ
>
, что для всех
tT∈
,
удовлетворяющих неравенству
|| ||tb
σ
−<
, выполняются неравенства
Тогда для тех же значений
t
имеем следующую оценку для нормы разно-
сти элементов пространства
n
:
12 1 2
|| ( ( ), ( ), , ( )) ( ( ), ( ), , ( )) ||
nn
gtgt g t gbgb g b
δ
−<
и, следовательно,
12 1 2
| ( ( ), ( ), , ( )) ( ( ), ( ), , ( )) | .
nn
fgtg t g t fgbg b g b
ε
−<
Теорема доказана.
5. Функции, непрерывные на множестве
В дальнейшем будет предполагаться, что области определения рас-
сматриваемых функций не имеют изолированных точек.
О
ПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция, непрерывная в каждой точке множестве
n
X ⊂
, называется непрерывной на этом множестве.
Т
ЕОРЕМА 6 (ТЕОРЕМА ВЕЙЕРШТРАССА). Предположим, что функция
f
определена и непрерывна на замкнутом ограниченном множестве
.
n
X
⊂
Тогда она ограничена на множестве
X
и достигает своих точ-
ной верхней и точной нижней граней.
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО. Докажем, что функция
f
ограничена сверху. До-
казательство проведем от противного. Допустим, что функция не является
ограниченной сверху. Тогда найдется такая последовательность
1
{}
kk
x
+∞
=
то-
чек множества
X
, что для каждого
k ∈
выполняется неравенство
Глава 1
23
Функции нескольких переменных
ç
è

Страницы