Математический анализ. Функции нескольких переменных. Функциональные ряды - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Говорят, что функция
f
непрерывна в точке
a
, если
,
lim ( ) ( ).
xa
xX
fx fa
→
∈
=
Переформулируем это определение. По любому
0
ε
>
найдется та-
кое
0
δ
>
, что для всех
xX∈
, удовлетворяющих условию
||xa
δ
−<
вы-
полняется неравенство
| ( ) ( )|fx fa
ε
−<
.
З
АМЕЧАНИЕ. Определение непрерывности может быть переформули-
ровано в терминах окрестностей. По любому
0
ε
>
найдется такая окре-
стность
()Ua
, что для всех
()x X Ua∈∩
выполняется неравенство
| ( ) ( )|fx fa
ε
−<
.
Мы не будем приводить свойства непрерывных функций нескольких
переменных, аналогичные свойствам функций одной переменной (если две
функции непрерывны в некоторой точке, то их сумма, разность и произве-
дение также непрерывны в этой точке и т.д.).
Остановимся только на вопросе о непрерывности сложной функции.
Т
ЕОРЕМА 5. Предположим, что
1) функция
f
определена на некотором множестве
n
X ⊂
и не-
прерывна в предельной точке
множества
X
;
2) функции
1
()gt
,
2
()gt
, …,
()
n
gt
определены на некотором множе-
стве
m
T ⊂
и каждая из них непрерывна в предельной точке
bT∈
мно-
жества
T
;
3) для любой точки
tT∈
выполняется соотношение
12
( ( ), ( ), , ( ))
n
gtgt g t X∈
.
Тогда сложная функция
12
( ( ), ( ), , ( ))
n
z fgt g t g t=
определенная, в силу условия 3), на множестве
T
, непрерывна в точке
b
.
Глава 1
22
Функции нескольких переменных
ç
è

Страницы