Математический анализ. Функции нескольких переменных. Функциональные ряды - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

()
k
fx k>
. Напомним, что любая последовательность точек множества
X
содержит подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке из
X
.
Заменяя в случае необходимости последовательность
1
{}
kk
x
+∞
=
ее соответст-
вующей подпоследовательностью, можно предполагать, что имеет место
соотношение
lim
k
k
x aX
→+∞
= ∈
. Тогда, в силу непрерывности функции
f
,
выполняется соотношение
( ) ()
k
fx fa→
и, следовательно, последователь-
ность
1
{ ( )}
kk
fx
+∞
=
не является ограниченной. Это противоречит тому, что
()
k
fx → +∞
при
k → +∞
.
Итак, функция
f
ограничена сверху. Обозначим:
. Вы-
берем последовательность
1
{}
kk
x
+∞
=
точек множества
X
, для которой
lim ( ) .
k
k
fx M
→+∞
=
Переходя в случае необходимости к подпоследовательности последова-
тельности
1
{}
kk
x
+∞
=
, можно предполагать, что эта последовательность явля-
ется сходящейся к некоторой точке
aX∈
. В силу непрерывности функ-
ции
f
,
lim ( ) ( )
k
k
fx fa
→+∞
=
и, в силу единственности предела последова-
тельности,
()fa M=
. Мы доказали, что точная функция
f
достигает своей
точной верхней грани.
Случай ограниченности снизу и точной нижней грани рассматрива-
ется аналогично (или сводится к рассмотрению функции
f−
.
Теорема доказана.
Т
ЕОРЕМА 7 (ТЕОРЕМА О ПРОМЕЖУТОЧНЫХ ЗНАЧЕНИЯХ). Предположим,
что функция
f
определена и непрерывна в области
G
,
a
,
bG∈
. Тогда для
любого значения
C
, лежащего между
()fa
и
()fb
, существует точка
,cG∈
такая, что
()fc C=
.
Глава 1
24
Функции нескольких переменных
ç
è

Страницы