ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По определению области, найдется непрерывная
кривая
{ ( ) : [ , ]}L x tt
ϕ αβ
= = ∈
, лежащая в множестве
G
и такая, что
() a
ϕα
=
,
() b
ϕβ
=
. Рассмотрим сложную функцию
( ( ))zf t
ϕ
=
,
[,]t
αβ
∈
.
Она является непрерывной по теореме о непрерывности сложной функции.
Кроме того, выполняются равенства
( ( )) ( )f fa
ϕα
=
,
( ( )) ( )f fb
ϕβ
=
. При-
меняя теорему Коши о промежуточных значениях функции, определенной
и непрерывной на отрезке, получаем, что существует точка
[,]
ξ αβ
∈
, для
которой
( )
( ))
fC
ϕξ
=
. Обозначая
()cG
ϕξ
= ∈
, получаем:
()fc C=
.
Что и требовалось доказать.
Напомним, что замыкание области называется замкнутой областью.
С
ЛЕДСТВИЕ ТЕОРЕМЫ. Предположим, что функция
f
определена и
непрерывна в замкнутой области
G
,
a
,
bG∈
. Тогда для любого значе-
ния
C
, лежащего между
()fa
и
()fb
, существует точка
cG
∈
, такая, что
()fc C=
.
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО. Обозначим:
()fa A=
,
()fb B=
. Если
AB=
, то ут-
верждение тривиально. Не нарушая общности рассуждений, можно пред-
полагать, что
AB<
. Предположим, что число
C
лежит между
A
и
B
.
Случаи
CA=
и
CB=
также тривиальны. Поэтому достаточно ограничить-
ся предположением, что
AC B<<
. Выберем число
0
ε
>
, удовлетворяю-
щее неравенствам
CA
ε
<−
,
BC
ε
<−
, то есть так чтобы выполнялись не-
равенства
A CB
εε
+< < −
. В силу непрерывности функции в точке
a
,
найдется точка
0
aG∈
(именно из
G
, а не
G
, это нужно, чтобы воспользо-
ваться теоремой), такая, что
0
| ( ) ( )|fa fa
ε
−<
. Аналогично получаем, что
найдется точка
0
bG∈
, такая, что
0
| ( ) ( )|fb fb
ε
−<
. Тогда
00
( ) () ( )fa fa A C B fb
εε ε
< += +< < −<
,
Глава 1
25
Функции нескольких переменных
ç
è
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 23
- 24
- 25
- 26
- 27
- …
- следующая ›
- последняя »
