Математический анализ. Функции нескольких переменных. Функциональные ряды - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

Приращением функции
f
в точке
a
, соответствующим приращению ар-
гумента
x∆
, называется величина
() ( ) ()fa fa x fa∆ = +∆ −
.
О
ПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция
f
, определенная в некоторой окрестности
точки
n
a
∈
, называется дифференцируемой в точке
a
, если приращение
этой функции в точке
a
может быть представлено в виде:
1
() ( ) () (| |)
n
ii
i
fa fa x fa L x o x
=
∆ = +∆ − = ∆ + ∆
∑
(∗)
при
0x∆→‖‖
, где
1
L
,
2
L
,…,
n
L
— некоторые числа.
З
АМЕЧАНИЕ. Обратим внимание читателя, что определение диффе-
ренцируемости функции нескольких переменных является точным анало-
гом определения дифференцируемости функции одной переменной, или
иначе: приведенное определение при
переходит в определение диф-
ференцируемости функции одной переменной.
З
АМЕЧАНИЕ. Выражение
()ox
∆
‖‖
имеет смысл, аналогичный случаю
функций одной переменной: это функция вида
()xx
α
∆∆‖‖
, где функция
α
определена в некоторой выколотой окрестности точки 0 и
() 0x
α
∆→
при
0x∆→
.
З
АМЕЧАНИЕ. Если функция
f
дифференцируема в точке
a
, то она
непрерывна в этой точке. Действительно, из соотношения (∗) следует, что
( ) () 0fa x fa+∆ − →
,
если
0x∆→
.
Т
ЕОРЕМА 8. Если функция
f
дифференцируема в точке
n
a∈
, то в
этой точке существуют частные производные
1
()
f
a
x
∂
∂
,…,
()
n
f
a
x
∂
∂
и для
Глава 1
27
Функции нескольких переменных
ç
è

Страницы