Математический анализ. Функции нескольких переменных. Функциональные ряды - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

Напомним, что в случае функций одной переменной справедливы
следующие утверждения:
1) функция, дифференцируемая в точке, является непрерывной в
этой точке;
2) дифференцируемость функции в точке равносильна существова-
нию производной в этой точке.
В случае функций нескольких переменных ситуация становится су-
щественно другой. Свойство 1) остается в силе. Однако связь между диф-
ференцируемостью и наличием частных производных становится сущест-
венно более сложной. Приведем соответствующие примеры.
П
РИМЕР. Если функция
f
определена в некоторой окрестности точки
n
a∈
, непрерывна в этой точке и имеет частные производные
()
i
f
a
x
∂
∂
,
1i =
,
2
,…,
n
, то она не обязательно является дифференцируемой в этой
точке. Рассмотрим, например, функцию
(, )f xy
, определенную на плоско-
сти
2
следующим образом:
22
2
(, ) ,
xy
f xy
xy
=
+
если
,
(0,0) 0f =
.
Непрерывность функции
f
в точках
очевидна. Дока-
жем ее непрерывность в точке
(0,0)
. Для любых
x
,
y∈
справедлива
оценка:
22
2| | | |x yx y⋅≤+
. Действительно, ее можно переписать в виде
22
2|||||| ||xyx y⋅≤ +
,
или
22 2
|| || 2||||0,(||||) 0.x y xy x y+ − ⋅≥ − ≥
Тогда получаем:
Глава 1
29
Функции нескольких переменных
ç
è

Страницы