ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
22
22
2| |
| ( , )| 0
xy
f xy x y
xy
≤ ≤ +→
+
при
( , ) (0,0)xy→
.
При фиксированном
0y ≠
существование частной производной по
x
оче-
видно. Из тождества
( ,0) 0fx ≡
вытекает, что
( ,0)
f
x
x
∂
∂
=0, в частности,
(0,0) 0
f
x
∂
=
∂
. В силу соотношения
(, ) (,)f xy f yx=
, аналогичные факты
имеют место и для частной производной по
y
.
Покажем, что функция
f
не является дифференцируемой в точке
(0,0)
. Действительно, допустив противное и учитывая, что
(0,0) 0, (0,0) 0,
ff
xy
∂∂
= =
∂∂
получаем, что
22
(, ) (, ) (0,0) ( ),f xy f xy f o x y=−=+
если
( , ) (0,0)xy→
. Отсюда, в частности, должно следовать, что
( , ) (| |)f xx o x=
при
0x →
. Однако
2
2
2
( , ) 2| |
2
x
f xx x
x
= =
,
и при
0x →
правая часть не удовлетворяет предыдущему условию.
П
РИМЕР. Рассмотрим функцию
(, )f xy
, определяемую следующим
условиями:
(, ) 0f xy=
, если
0x =
или
0y =
и
(, ) 1f xy=
в остальных слу-
чаях. Иначе говоря, функция
f
тождественно равна единице всюду, кроме
координатных осей, где она тождественно равна нулю. Тогда
(0,0) 0
f
x
∂
=
∂
,
Глава 1
30
Функции нескольких переменных
ç
è
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 28
- 29
- 30
- 31
- 32
- …
- следующая ›
- последняя »
