Математический анализ. Функции нескольких переменных. Функциональные ряды - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

1
( , ) ( , ) ( , ),
ff
x y a xb y ab
xx
λθ
∂∂
∆ ∆ = + ∆ +∆ −
∂∂
2
( ) (, ) (,),
ff
y ab y ab
yy
µθ
∂∂
∆= +∆−
∂∂
В силу непрерывности частных производных
(, )
f
xy
x
∂
∂
и
(, )
f
xy
y
∂
∂
в точ-
ке
,c
имеют место равенства
0, 0
0
lim ( , ) 0, lim ( ) 0.
xx
y
xy y
λµ
∆→ ∆→
∆→
∆∆= ∆=
Тогда из равенства (∗) находим:
(,) (,) (,) (( , ) ( ) )
ff
f ab ab x ab y x y x y y
xy
λµ
∂∂
∆ = ⋅∆ + ⋅∆ + ∆ ∆ ⋅∆ + ∆ ⋅∆ =
∂∂
(,) (,) ( , ),
ff
ab x ab y x y
xy
ν
∂∂
= ⋅∆ + ⋅∆ + ∆ ∆
∂∂
где
(,) (,) ()xy xy x y y
νλ µ
∆ ∆ = ∆ ∆ ⋅∆ + ∆ ⋅∆
.
Остается заметить, что
.
Теорема доказана.
О
ПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция
f
, определенная в некоторой области
D
пространства
n
и имеющая в каждой точке области
D
частные произ-
водные (первого порядка) по всем переменным, непрерывные в области
,D
называется непрерывно дифференцируемой в области
D
.
7. Производная сложной функции
Предположим, что функция
f
определена и дифференцируема в не-
которой области
n
D ⊂
, функции
ϕ
и
ψ
определены и дифференцируе-
мы на некотором интервале
I
и для любой точки
tI∈
выполняется сле-
Глава 1
32
Функции нескольких переменных
ç
è

Страницы