Математический анализ. Функции нескольких переменных. Функциональные ряды - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

Аналогично рассматривается случай, когда
x
и
y
являются функ-
циями нескольких переменных.
Как и выше, будем предполагать, что функция
f
определена и диф-
ференцируема в некоторой области
2
D ⊂
. Предположим, что функции
ϕ
и
ψ
определены и дифференцируемы в некоторой области
2
G ⊂
и для
любой точки
(, )tG
τ
∈
выполняется соотношение:
( ( , ), ( , ))ttD
ϕ τψ τ
∈
. То-
гда в области
G
определена сложная функция
( ( , ), ( , ))uf t t
ϕ τψ τ
=
. Можно
доказать, что эта функция дифференцируема в любой точке
(, )tG
τ
∈
, и
имеют место равенства
или в развернутом виде:
( ( , ), ( , ))ft t
t
ϕ τψ τ
∂
=
∂
( (, ), (, )) (, ) ( (, ), (, )) (, )
,
ft t t ft t t
xt yt
ϕτψτ ϕτ ϕτψτ ψτ
∂∂∂∂
= ⋅+ ⋅
∂∂ ∂∂
( ( , ), ( , ))ft t
ϕ τψ τ
τ
∂
=
∂
( (, ), (, )) (, ) ( (, ), (, )) (, )
.
ft t t ft t t
xy
ϕτψτ ϕτ ϕτψτ ψτ
ττ
∂∂∂∂
= ⋅+ ⋅
∂∂ ∂∂
Перейдем к примерам. В этих примерах предполагается, что рас-
сматриваемые функции дифференцируемы, и сложная функция корректно
определена.
1°. Рассмотрим функцию
(, )z f xy=
и выполним замену переменной
()yx
ϕ
=
, то есть рассмотрим функцию одной переменной
( , ( ))z fx x
ϕ
=
.
Тогда имеем:
.
dz z z dy
dx x y dx
∂∂
=+⋅
∂∂
Глава 1
34
Функции нескольких переменных
ç
è

Страницы