Математический анализ. Функции нескольких переменных. Функциональные ряды - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

2
2
00
00 00 00
(, )
(, ) (, ) (, ),
xy
fx y
ff
xy xy f xy
x y xy xy

∂
∂∂ ∂
= = =

∂ ∂ ∂∂ ∂∂

2
2
00
00 00 00
(, )
(, ) (, ) (, ),
yx
fx y
ff
xy xy f xy
y x yx yx
∂
∂∂ ∂

= = =

∂ ∂ ∂∂ ∂∂

2
2
00
00 00 00
22
(, )
(, ) (, ) (, ).
yy
fx y
ff
xy xy f xy
yy
yy

∂
∂∂ ∂
= = =

∂∂
∂∂

Производные
2
f
xy
∂
∂∂
и
2
f
yx
∂
∂∂
носят название смешанных. Можно привести
пример, когда обе эти производные в некоторой точке существуют, но
принимают разные значения. Если наложить на функцию
f
некоторые до-
полнительные ограничения, то смешанные производные будут совпадать.
Справедливо следующее утверждение, которое мы приводим без доказа-
тельства.
Т
ЕОРЕМА 10. Если смешанные производные
2
f
xy
∂
∂∂
и
2
f
yx
∂
∂∂
определены
в окрестности некоторой точки
00
(, )xy
и непрерывны в этой точке, то
имеет место равенство
22
00 00
(, ) (, )
ff
xy xy
xy yx
∂∂
=
∂∂ ∂∂
.
Аналогично определяются производные более высоких порядков,
например, в случае функции двух переменных, можно определить произ-
водные
33 3 3
00 00 00 00
32 2
( , ), ( , ), ( , ), ( , ),
ff f f
xy xy xy xy
xyx
x x y yx
∂∂ ∂ ∂
∂∂∂
∂ ∂ ∂ ∂∂
00 00 00 00
22 3
( , ), ( , ), ( , ), ( , ).
xy xy xy xy
yxy
xy y x y
∂∂∂
∂∂ ∂ ∂ ∂
Производные, получаемые путем дифференцирования по нескольким пе-
ременным (в предыдущих формулах — все, кроме первой и последней),
называются смешанными.
Глава 1
36
Функции нескольких переменных
ç
è

Страницы