Математический анализ. Функции нескольких переменных. Функциональные ряды - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

связывающие декартовы и полярные координаты на плоскости. Выполним
сначала вспомогательные построения — найдем частные производные от
r
и
ϕ
по
x
и
y
. Беря частные производные по переменной
x
, из соотно-
шений (∗) получаем систему уравнений:
cos sin 1,
sin cos 0.
r
r
xx
r
r
xx
ϕ
ϕϕ
ϕ
ϕϕ
∂∂
−=
∂∂
∂∂
+=
∂∂
Умножая первое уравнение на
cos
ϕ
, второе — на
sin
ϕ
и складывая полу-
ченные соотношения, находим, что
cos
r
x
ϕ
∂
=
∂
. Умножая первое уравнение
на
sin
ϕ
−
, а второе — на
cos
ϕ
и складывая полученные соотношения, по-
лучим:
. Отсюда следует, что
sin
xr
ϕϕ
∂
= −
∂
. Дифференцируя
соотношения (∗) по
y
, аналогично находим: sin
r
y
ϕ
∂
=
∂
,
cos
yr
ϕϕ
∂
=
∂
.
Теперь, пользуясь найденными соотношениями, находим:
sin
cos ,
u ur u u u
x rx x r r
ϕϕ
ϕ
ϕϕ
∂ ∂∂ ∂∂ ∂ ∂
=⋅+ ⋅ = ⋅− ⋅
∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂
cos
sin .
u ur u u u
y ry y r r
ϕϕ
ϕ
ϕϕ
∂ ∂∂ ∂∂ ∂ ∂
=⋅+ ⋅ = ⋅+ ⋅
∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂
Используя последние соотношения, находим (одинаковым цветом выделе-
ны фрагменты формул до и после преобразования):
2
2
sin
cos
u uu
x rr
x
ϕ
ϕ
ϕ
∂∂ ∂ ∂

= ⋅− ⋅ =

∂∂ ∂
∂

( )
sisin
s
n
cco os
u
xr
u
xr x
u
r rx
u
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ

= +− −
∂∂

⋅

∂
∂ ∂∂

⋅

∂∂

∂∂
⋅

∂∂

∂
∂
∂ ∂
⋅ =
222
2
sisin
co c
n
s os
uu u
rr
rr
r
ϕϕ
ϕϕ
ϕ

∂∂
⋅= ⋅− ⋅

∂∂
∂
∂
⋅+
∂
−
Глава 1
38
Функции нескольких переменных
ç
è

Страницы